2012届高三步步高大一轮复习课件：5.1平面向量的概念及线性运算

第五章

平面向量

§ 5.1 平面向量的概念及线性运算 基础知识 自主学习要点梳理 1.向量的有关概念 名称 向量 定义 既有 大小 又有 方向 的 量；向量的大小叫做向 量的 长度 (或称 模 ) 备注 平面向量是自 由向量

零向量

长度为 零 的向量；其方 向是任意的 长度等于 1个单位 的 向量 方向 相同 或 相反 的非 零向量 零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向相反的 向量

记作 0 非零向量 a 的单位向 a 量为 ± |a| 0 与任一向量平行或

单位向量

平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

方向相同或相反 的非 共线两向量只有相等或 不等，不能比较大小 0 的相反向量为 0

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何 意义) 运算律 (1)交换律： 加法 求两个向量 和的运算平行四边形 三角形

a+b=b+ a. (2)结合律： (a+b)+ c=a+(b+ c).

求 a与b的相 减法 反向量- b的 和的运算叫 做 a与b的差三角形 法则

a-b=a+ (- b)

(1)|λa |= |λ||a |. λ(μa)=λμa; 与向量 a 向与 a 的方向 相同 ； 数乘 (λ+ μ)a= λa+ μa; 的积的运 当 λ<0 时， λa 的方向 λ(a+ b)=λa+ λb. 算 与 a 的方向 相反；当 λ= 0 时， λa= 0. 3.共线向量定理 向量 a(a≠ 0)与 b 共线的 充要 条件是存在唯一一个实数 λ, 使得 b= λa. 求实数 λ (2)当 λ>0 时， λa 的方

1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时， 与有向线段起点的位置没有关系. 同向且等长的有向线段 都表示同一向量. 或者说长度相等、 方向相同的向量是相 等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向 量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包 括共线的情况. 因而要利用向量平行证明向量所在直线平 行，必须说明这两条直线不重合.

两个几何结论的向量表示. 1 → → 1.(1)若 D 为线段 AB 的中点， O 为平面内一点， 则OD= (OA 2 → )(如图 33-3). +OB

图 33-3 (2)p 为△ ABC 的重心，则 → +PB → +PC → =0 P 为△ ABC 的重心. PA

2. 向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行 问题.记住常用结论：A、B、C、三点共线 存在实数 λ,μ, → → → 对任意一点 O,OA=λOB+μOC(λ+μ=1).

基础自测 → - QP → +MS → -MQ → 的结果等于 ________ → 1.化简OP . OS

→ -QP → +MS → -MQ → =OP → +PQ → -(SM → +MQ →) 解析 OP → -SQ → =OQ → +QS → =OS →. =OQ2.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定 不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

④相等向量一定共线. 其中不正确命题的序号是①②③ _______.

解析

①错，如单位向量与 0 不相等；②错，如方向相

同，长度不等的向量；③错，如都平行于零向量，则不 共线.④对.

→ =c,AC → =b.若点 D 满足BD → =2DC →, 4.在△ABC 中，AB → =________(用 b、c 表示). 则AD解析 如图所示， 2 → → → → 可知AD=AB+3(AC-AB) 2 =c+3(b-c) 2 1 =3b+3c.

→ =a+2b,BC → =-5a+6b,CD →= 5.已知向量 a,b,且AB 7a-2b,则一定共线的三点是 A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D → =BC → +CD → =(-5a+6b)+(7a-2b) 解析 BD (

A

)

→, =2a+4b=2(a+2b)=2AB → 与AB → 共线. ∴BD 又∵有公共点B,∴A、B、D三点共线.

题型分类 深度剖析题型一 平面向量的有关概念 例 1 给出下列命题： ①若 |a|= |b |,则 a= b;②若 A, B, C, D 是不共线的四 → = DC → 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条 点，则AB 件；③若 a= b,b= c,则 a= c;④ a= b 的充要条件是 |a | = |b|且 a∥ b;⑤若 a∥ b,b∥ c,则 a∥ c.其中正确的序号 是 ________.

解析 ① 不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不 一定相同. → =DC → ,∴ |AB → |= |DC → |且 AB → ∥DC →, ②正确.∵AB 又∵ A, B, C, D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平 → ∥DC → 行四边形； 反之， 若四边形 ABCD 为平行四边形， 则AB → |= |DC → |,因此，AB → =DC →. 且 |AB ③正确.∵ a= b,∴ a,b 的长度相等且方向相同；又 b= c, ∴ b, c 的长度相等且方向相同， ∴ a, c 的长度相等且方向相同，故 a= c. ④不正确.当 a∥ b 且方向相反时，即使 |a|= |b |,也不能得 到 a= b,故 |a|= |b |且 a∥ b 不是 a=b 的充要条件，而是必 要不充分条件.⑤不正确.应考虑 b= 0 这种特殊情况. 综上所述，正确命题的序号是②③ .

答案

②③

探究提高 关键.

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解 题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系是： 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

题型二

平面向量的线性运算 → =a,OB → =b 为边 例 2 如图，以向量OA 1→ → 1→ → 作 OADB,BM= BC,CN= CD,用 3 3 → 、ON → 、MN →. a、b 表示OM

→ +BC → =AC → ,AB → =OB → -OA →. 思维启迪：利用公式：AB 1→ 1 1 → → → → 解 ∵BA=OA-OB=a-b,BM=6BA=6a-6b, 1 5 → → → → =a+b, ∴OM=OB+BM=

a+ b.又OD 6 6 1→ 1→ 1→ 2→ 2 → → ∴ON=OC+3CD=2OD+6OD=3OD=3(a+b). 2 2 1 5 1 1 → → → ∴MN=ON-OM=3a+3b-6a-6b=2a-6b. 1 5 2 2 1 1 → → → 即OM=6a+6b,ON=3a+3b,MN=2a-6b.

探究提高

在进行向量线性运算时 …… 此处隐藏：1532字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……