2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练09 导数的几何意义以及应用

时间:2025-04-02

考点9 导数的几何意义以及应用

【考点分类】

热点一 导数的几何意义

1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线y x ax 1在点 -1,a 2 处切线的斜率为42

8,a=( )

(A)9 (B)6 (C)-9 (D)-6

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】若曲线y kx lnx在点 1,k 处的切线平行于x轴,则k

______.

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)文科】若曲线y x ( R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则

= .

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数f(x)在(0, )内可导,且f(e) x e,则xxf

(1)=__________.

5.(2012年高考(课标文))曲线y x(3lnx 1)在点(1,1)处的切线方程为________

【答案】4x y 3 0

【方法总结】

求曲线的切线方程有两种情况,一是求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,其方法如下:

(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y=y0+f′(x0)(x-x0).如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴,由切线定义可知,切线方程为x=x0.

二是求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程,其方法如下:

(1)设切点A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f′(xA),写出切线方程.

(2)把P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解得xA的值,进而写出切线方程. 热点二 导数的几何意义的应用

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数f(x) x alnx(a R)

(1)当a 2时,求曲线y f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;

(2)求函数f(x)的极值

.

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理】已知函数f(x) ex,x R.

(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线y mx2(m 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设a<b, 比较f(a) f(b)f(b) f(a)与的大小, 并说明理由.

2b a

g(x)mine2e2()1m 时,两曲线有2个交点; g(2) ,所以 44

e2e2

(2)m=时,两曲线有1个交点;(3)m 时,两曲线没有交点。 44

(Ⅲ)

b af(a) f(b)f(b) f(a)ea ebea eb1 eb a

a1 e e( )2b a2b a2b a

b a) 2(1 eb a)a(b a)(1 e e2(b a)

a b,令b a t 0

t(1 et) 2(1 et)ea

上式 e (t 2)et t 2 2t2t

令g(t) (t 2)et t 2,则g'(t) (t 3)et 1 0恒成立a

eaea

g(t) g(0) 0而 0 (t 2)et t 2 02t2t

f(a) f(b)f(b) f(a)故 .2b a

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理】已知a R,函数f(x) x 3x 3ax 3a 3. (Ⅰ)求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)当x [0,2]时,求|f(x)|的最大值

. 32

当23

a 时,3 4a 0,所以f(x1) |f(2)|,所以此时|f(x)|max f(x1) 1 2(1 a; 34

1

0.【2013年全国高考新课标(I)理科】已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(Ⅰ)求a,b,c,d的值

(Ⅱ)若x≥-2时,f(x

)≤kg(x),求k的取值范围. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理】

设l为曲线C:y

(I)求l的方程;

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.

[

解析] 利用导数的几何意义求出切线的斜率,写出点斜式方程,最后化为一般式.要证曲线C在直线l的下方,只lnx在点(1,0)处的切线. x

1

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知函数f(x) x 1 a(a R,e为自然对数的ex

底数)

(Ⅰ)若曲线y f(x)在点 1,f(x) 处的切线平行于x轴,求a的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的极值;

(Ⅲ)当a 1时,若直线l:y kx 1与曲线y f(x)没有公共点,求k的最大值.

k 1 x 1 xe (*)

在R上没有实数解.

①当k 1时,方程(*)可化为1 0,在R上没有实数解. ex

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】

已知函数f(x) ex,x R.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

12x x 1有唯一公共点. 2

f(b) f(a) a b (Ⅲ) 设a<b, 比较f 的大小, 并说明理由. 与b a 2 (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y

【解析】本题涉及函数与导数,为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用,体现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数,到了第二问,考查难度平稳提升.第三问比较大小可采用作差构造,再求导,并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微,需要思考分析.具有一定的区分度.本题命题常规,难度大.

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】

知a R,函数f(x) 2x

(Ⅰ)若a 1,求曲线y

(Ⅱ)若|a| 1,求3 3(a 1)x2 6ax f(x)在点(2,f(2))处的切线方程. f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

【答案】(Ⅰ)当a 1时,f(x) 2x3 6x2 6x f(2) 16 24 12 4,所以

f (x) 6x2 12x 6 f (2) 24 24 6 6,所以y f(x)在(2,f(2))处的切线方程是:

15.【2013年全国高考新课标(I)文科】

已知函数f(x) e(ax b) x 4x,曲线y f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y 4x 4.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性,并 …… 此处隐藏:2066字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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