2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练09 导数的几何意义以及应用

发布时间：2024-11-06

考点9 导数的几何意义以及应用

【考点分类】

热点一导数的几何意义

1.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知曲线y x ax 1在点 -1，a 2 处切线的斜率为42

8，a=（）

（A）9 （B）6 （C）-9 （D）-6

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】若曲线y kx lnx在点 1,k 处的切线平行于x轴,则k

______.

3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若曲线y x ( R)在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则

= .

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】设函数f(x)在(0, )内可导，且f(e) x e,则xxf

(1)=__________.

5.（2012年高考（课标文））曲线y x(3lnx 1)在点(1,1)处的切线方程为________

【答案】4x y 3 0

【方法总结】

求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其方法如下：

(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．

(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.

二是求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程，其方法如下：

(1)设切点A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程．

(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而写出切线方程．热点二导数的几何意义的应用

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知函数f(x) x alnx(a R)

（1）当a 2时，求曲线y f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程；

（2）求函数f(x)的极值

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】已知函数f(x) ex,x R.

(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线y mx2(m 0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设a<b, 比较f(a) f(b)f(b) f(a)与的大小, 并说明理由.

2b a

g(x)mine2e2（）1m 时，两曲线有2个交点； g(2) ，所以 44

e2e2

（2）m=时，两曲线有1个交点；（3）m 时，两曲线没有交点。 44

（Ⅲ）

b af(a) f(b)f(b) f(a)ea ebea eb1 eb a

a1 e e( )2b a2b a2b a

b a) 2(1 eb a)a(b a)(1 e e2(b a)

a b,令b a t 0

t(1 et) 2(1 et)ea

上式 e (t 2)et t 2 2t2t

令g(t) (t 2)et t 2，则g'(t) (t 3)et 1 0恒成立a

eaea

g(t) g(0) 0而 0 (t 2)et t 2 02t2t

f(a) f(b)f(b) f(a)故 .2b a

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（浙江卷）理】已知a R，函数f(x) x 3x 3ax 3a 3. （Ⅰ）求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）当x [0,2]时，求|f(x)|的最大值

. 32

当23

a 时，3 4a 0，所以f(x1) |f(2)|，所以此时|f(x)|max f(x1) 1 2(1 a； 34

0.【2013年全国高考新课标（I）理科】已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值

（Ⅱ）若x≥－2时，f(x

)≤kg(x)，求k的取值范围. 11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】

设l为曲线C：y

(I)求l的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.

[

解析] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般式.要证曲线C在直线l的下方，只lnx在点(1，0)处的切线. x

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知函数f(x) x 1 a（a R,e为自然对数的ex

底数）

（Ⅰ）若曲线y f(x)在点 1,f(x) 处的切线平行于x轴，求a的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的极值；

（Ⅲ）当a 1时，若直线l:y kx 1与曲线y f(x)没有公共点，求k的最大值.

k 1 x 1 xe （*）

在R上没有实数解．

①当k 1时，方程（*）可化为1 0，在R上没有实数解． ex

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】

已知函数f(x) ex,x R.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

12x x 1有唯一公共点. 2

f(b) f(a) a b (Ⅲ) 设a<b, 比较f 的大小, 并说明理由. 与b a 2 (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y

【解析】本题涉及函数与导数，为压轴题.本题第一问涉及了求导与指数函数的反函数.属于导函数的基本应用，体现了压轴题的低切入点特征.本题第二问考查曲线与曲线的公共点个数，到了第二问，考查难度平稳提升.第三问比较大小可采用作差构造，再求导，并综合考察基本不等式的应用.第三问考查细致入微，需要思考分析.具有一定的区分度.本题命题常规，难度大.

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】

知a R，函数f(x) 2x

（Ⅰ）若a 1，求曲线y

（Ⅱ)若|a| 1，求3 3(a 1)x2 6ax f(x)在点(2,f(2))处的切线方程. f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.

【答案】（Ⅰ）当a 1时，f(x) 2x3 6x2 6x f(2) 16 24 12 4，所以

f (x) 6x2 12x 6 f (2) 24 24 6 6，所以y f(x)在(2,f(2))处的切线方程是：

15.【2013年全国高考新课标（I）文科】

已知函数f(x) e(ax b) x 4x，曲线y f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y 4x 4.

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值. x2

f'(0) 4【答案】（1）f(0) 4，f(x) e(ax b) ae 2x 4，故，解得a b 4；

f(0) 4'xx