奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用

奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用

　　　　　　　　　　天津商学院学报　第19卷　第6期

1999年11月

奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用

杨卫疆

(天津商学院基础部,天津300400)

α

　　　　　　　　摘　要　在定积分和重积分的计算中,恰当地利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,

可以使积分运算大大简化。,并给出了证明。关键词　奇偶;对称;曲线;曲面;积分分类号　A765

ApplicationofOdevCurvilinearIntegralandSurfaceIn(ofBasicCourses,TianjinUniversityofCommerce,Tianjin300400)

Abstract　Inthecalculationofdefininganddoubleintegral,appropriatelymakinguseoftheodevityofintegrandandthesymmetryofintegralregioncansimplifythecalculationofinte2.Thisarticlepopularizesthesemethodsinthecalculationofcurvilinearintegralandsur2gral

.faceintegralandgivesproofofthemaswell

Keywords　odd2even;symmetriccurve;surface;integral

　　在各类《高等数学》教材中,讲授定积分与重积分时都谈到了应用奇偶性、对称性可使计算简化,但在曲

线积分、曲面积分中却很少谈及。实际上,在曲线积分和曲面积分问题中,也有相应的问题。如果把定积分、重积分视为线、面积分的特殊情况,则奇偶性、对称性这些在特定情况下的性质就可以推广到一般的线、面积分中。

　　(4)若(x,y,z)∈8,则(-x,-y,-z)∈8,那么

8关于原点对称。

　　(5)若(x,y,z)∈8,则(x,-y,z)和(-x,y,z)∈8,那么8关于xoz和yoz面对称。1.2　函数的奇偶性

　　(1)若f(x,y,z)在8上满足f(-x,y,z)= f(x,y,z),称f为8上关于x的奇、偶函数。f关于y或z的奇偶性类似。

　　(2)若f(x,y,z)在8上满足f(-x,-y,z)=

偶函数。f关于xf(x,y,z),称f为关于x与y的奇、

与z或y与z的奇偶性类似。

　　(3)若f(x,y,z)在8上满足f(-x,-y,-z)= f(x,y,z),称f为关于x、偶函数。y和z的奇、

1　定　义

1.1　区域8的对称性

　　(1)若(x,y,z)∈8,则(x,y,-z)∈8,那么8关

于xoy面对称。8关于xoz面、yoz面对称类似。　　(2)若(x,y,z)∈8,则(-x,-y,z)∈8,那么8关于z轴对称。8关于x轴、y轴对称类似。

　　(3)若(x,y,z)∈8,则(x,-y,z)、(x,y,-z)和(-x,y,z)均∈8,那么8关于三个坐标面对称。

2　曲面积分中的若干结论

2.1　若分片光滑的曲面6关于xoy面对称,f在6

α收稿日期:1998211225

奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用

杨卫疆:奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用

上关于z为连续的奇、偶函数,则

0,f奇　

　　f(x,y,z)dS=

2f(x,y,z)dS,f偶6

偶函数,则:6上同时是x和的连续的奇、

∫∫

0,f奇

∫∫6

1

其中61为6在xoy面上方一侧的部分区域(z=±

z(x,y)具有连续的偏导数)。　　证明

f(x,y,z)dS=∫∫4f(x,y,z)dS,f6∫∫6

1

偶

其中6

1

为6在1,5卦限的部分区域。

　　证明

fdS=fdS+fdS+fdS+fdS∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫66666

1

2

3

4

f(x,y,z)dS=f(x,y,z)dS+f(x,y,z)dS

∫∫∫∫∫∫666

1

2

其中61、62、63、6

4

6在1,5;2,6;3,7和4,

　　其中61:z=z(x,y),62:z=-z(x,y),若f(x,y,-z)=f(x,y,z)

8yoz面对称,若f是x

1:

则　　

f(x,y,z)dS

∫∫6

2

ffdS

∫6

1

2

　　=　　　　　=

∫∫

Dxy

f[x,y,-z(x,y)]

2

同样可证　

fdS=fdS　fdS=fdS

∫∫∫∫∫∫∫∫6666

2

3

3

4

1+(-zx)zydxdy

故　

∫∫

Dxy

f[x,y,z(x,y)]22

1+zx+zydxdy

f(x,y,z)dS=4f(x,y,z)dS

∫∫∫∫66

1

　　奇函数情形同理。其他同类情况可仿此证。

　　=

∫∫6

1

f(x,y,z)dS

　　例2　求

∫∫6

(x+y)zdS,

6为Z=2-(x2+

2

y)

故　　

f(x,y,z)dS=2f(x,y,z)dS∫∫∫∫66

1

在Z=-h(h≥0)上方的部分。

　　解　因f(x,y,z)=(x+y)z同时关于x与y为奇函数,6关于xoz和yoz面对称,利用结论2有:

　　同理可证f为奇函数的情形。　　其他同类情况可仿此证。

　　例1　求

∫∫6

(x+y+z)dS,

6为x2+

y+z

22

(x+

∫∫6

y)zdS=0

2.3　若分片光滑的曲面6关于三个坐标面都对称,

=a2上z≥h(0≤h≤a)的部分。

　　解　

f(x,y,z)dS=xdS+ydS+zdS

∫∫∫∫∫∫∫∫6666

连续函数f关于三个变量同时具有奇、偶性,则有:

0,f奇　

　　　　f(x,y,z)dS=

8f(x,y,z)dS,f偶6

∫∫

　　对xdS,f=x关于x奇,6关于yoz对称。

∫∫6

∫∫6

1

　　6

1

为6第一卦限的部分。

　　证明　利用结论1和结论2易得结论。　　例3　求

22

a-h

　　所以xdS=0,同理ydS=0

∫∫6

2

∫∫6

2

6

2

2

4+4+4dS,abc

2

2

222

∴

(x+y+z)dS=zdS=dΗ

∫∫∫∫∫66

2Π

a-

2

r

2

　　　　6

为2+2+2=1abc4+4+4dS=8abcabc

2

2

　　解　此时满足结论3的条件,所 …… 此处隐藏：4778字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……