广东省深圳市2013届高三第二次调研考试(2013深圳二模理科数学)word版 (1)

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试卷类型：A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试

数学（理科） 2013.4

1

参考公式：锥体体积公式V Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高．

3

如果在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B | A) ，那么

P( AB) P( A)P(B | A) ．

一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1 1． i 为虚数单位，则 i 等于

i

A．0

B． 2i C．1 i D． 1 i

2．已知集合 A {0 , 1} ，则满足条件 A B {2 , 0 , 1 , 3}的集合 B 共有 A．1 个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是

A． y B． y ex

e x

C． y x sin x D． y 1 x1 x

4．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中 抽出一个容量为 28 的样本，则样本中女运动员的人数为

A．9 B．10

C．11

D．12

5．已知双曲线x2 y 2

a 2 b2

1 的渐近线方程为 y ，则以它的顶点为焦点，焦点为

顶点的椭圆的离心率等于

A．1 B．2

2

2

C．2

D．1

6．已知 x R ，则 x 1是| x 1| | x

A．充分非必要条件 B

C．充要条件

D

7．由曲线 y sin x ， y cos x 与直线

所围成的平面图形（图 1

A．1

B．π C．2 22 2

4

3

D．8．在1 (1 x) (1 x) 2

(1 x)3

(1 x)4

(1 x)5

的展开式中，含 x 2

项的系数是

A．10 B．15 C．20 D．25

二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，

每小题 5 分，满分 30 分．

（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题．

9．某简单组合体的三视图如图 2，其中正视图与 正视图

侧视图

侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组 合体的体积是

cm3（结果保留 ）．

图2

10．若直线 y kx 与曲线 y ln x 相切，则 k 11．执行图 3 中程序框图表示的算法，其输出的结果

s 为

（注：框图中的“＝”，即为“←”或为“：＝”） 12．已知向量 a (1 , 2) ， M 是平面区域

x 0 , y 0

x y 1 0

2x y 4 0

内的动点， O 是坐标原点，则 a 的最小值是

．

13．在 n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向

下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格． 设 f (n) 表示从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角

“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图 4，给出了

n 3 时的一条路径．则 f (3)

f (n) ．

图4

（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，圆 3cos 上的点到直线 cos( 1的距离的最大值是

15．（几何证明选讲选做题）

3

．

如图 5， P 是圆 O 外一点， PT 为切线，T 为切点，

割线 PAB 经过圆心 O ， PT 2， PB 6 ， 则 PTA

．

P

图5

B

三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分 12 分）

已知△ ABC 中， a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、C 的对边，且 a b c．

2 2 2

（1）求角 C 的大小；

（2）求

a b

的取值范围． c

17．（本小题满分 12 分）

一个箱中原来装有大小相同的 5 个球，其中 3 个红球，2 个白球．规定：进行一次操 作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白 球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为 4 的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．

18．（本小题满分 14 分）

如图 6，已知四边形 ABCD 是矩形， AB 2BC 2 ，三角形 PAB 是正三角形，且 平面 ABCD 平面 PCD ．

（1）若 O 是 CD 的中点，证明： BO PA ；

（2）求二面角 B PA D 的余弦值．

A

BO

P

C图6

19．（本小题满分 14 分）

已知数列{an } ，{bn } 满足： a1 0 ，b1 2013 ，且对任意的正整数 n ， an ， an 1 ，

bn 和 an 1 ， bn 1 ， bn 均成等差数列．

（1）求 a2 ， b2 的值；

（2）证明：{an bn }和{an 2bn } 均成等比数列；

（3）是否存在唯一的正整数 c ，使得 an c bn 恒成立？证明你的结论．

20．（本小题满分 14 分）

已知动点 M 到点 F（0 , 1）的距离与到直线 y 4 的距离之和为 5． （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程，并画出图形；

（2）若直线 l ： y x m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A 、 B ，求 m 的取值范围；

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