四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

四 向量代数与空间解析几何 （攀枝花学院理科、文科：无考题）

（成都理工大学： 理科：1个解答8分， 1个相关的填空题4分） （成都理工大学： 文科：无考题） （一）向量代数

1. 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

（1）向量概念： 既有大小又有方向的量叫做向量。

特殊向量： 零向量，单位向量，自由向量。

向量间的关系：两个向量相等，两向量平行，逆向量。 向量的运算：向量相加（和），两向量相减（差），数乘向量， （2）向量的坐标表示法 ① 表示： a axi ay

j azk 或 a {ax,ay,az}

② 向量的模：

a ax ay az

222

．

（3）单位向量：与向量 a同方向的单位向量：

a

a

方向余弦：向量a与三条坐标轴的夹角分别为 、 、 称为a的方向角。 方向角 、 、 的余弦值叫向量a的方向余弦。

与向量 a同方向的单位向量：

a

cos ,cos ,cos

向量 a在三个坐标轴上的投影分别为：ax、ay、az

cos

a、cos

a、cos

a

2. 掌握向量的运算，向量的数量积、向量的向量积的计算方法。

（1）向量的线性运算

设a {ax,ay,az}，b {bx,by,bz}． 则

a b (ax bx)i (ay by)j (az bz)k

{ax bx,ay by,az bz}，

a { ax, ay, az}．

（2）向量的数量积

定义： a b |a| |b| cos (a,b) 计算公式：

a b axbx ayby azbz

（3）向量的向量积

定义：两向量a与b的向量积是一个向量，记为a b；规定它的模是

|a b| |a| |b| sin (a,b)；它的方向与向量a、b都垂直，且向量a、b、a b构

成右手系。

计算公式：

i

a b ax

bxjayby 用途：求与两向量a和b同时垂直的向量。

3. 了解两向量平行或垂直的条件。

axayaz

（1） 两向量平行： a//b a b 0 a b

bxbybz

（2） 两向量垂直：

a b a b 0 axbx ayby azbz 0

（二）平面与直线

1. 会求平面的点法式方程、一般式方程，会判断两平面的垂直、平行。 （1）平面的点法式：

平面 过点M0(x0,y0,z0)，法向量n {A,B,C}，则方程为：

A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0

（2）平面的一般式：Ax By Cz D 0

（3）两平面垂直、平行的判别

1：A1x B1y C1z D1 0； 2：A2x B2y C2z D2 0

① 1 2 n1 n2 A1A2 B1B2 C1C2 0．

A1B1C1D1

． A2B2C2D2

2. 会求点到平面的距离。 （1）点到平面的距离

② 1// 2 n1//n2

点P(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离： ① 写出平面的法向量，即为垂线的方向向量。 ② 写出过点P(x0,y0,z0)且垂直平面的直线的方程。 ③ 将平面方程与其垂线的方程联合，解出垂足P0的坐标。 ④ 求出垂足P0与点P间的距离，即得到点P到平面的距离。 公式：d

|Ax0 By0 Cz0 D|

A B C

2

2

2

（2）点到直线的距离

点P(x0,y0,z0)到直线L：

x x1y y1z z1

的距离． mnp

① 写出直线的方向向量，即为垂面的法向量。

② 写出过点P(x0,y0,z0)且垂直于直线的平面的方程。 ③ 将垂面方程与直线的方程联合，解出垂足P0的坐标。 ④ 求出垂足P0与点P间的距离，即得到点P到直线的距离。

3. 了解直线的一般式方程，会求直线的标准方程、参数式方程，会判定两直线垂直、平行。

直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量s {m,n,p}，标准方向 标准方程（点向式）：

x x0y y0z z0

mnp

x x0 mt

参数式方程： y y0 nt

z z pt

0

A1x B1y C1z D1 0

一般式方程:

A2x B2y C2z D2 0

i

一般式方程的方向向量：s n

1 n2 A1

A2

（3）两直线垂直、平行的判别

L1：

jB1B2

x x1y y1z z1x x2y y2z z2

； L2：

m1n1p1m2n2p2

① L1 L2 s1 s2 m1m2 n1n2 p1p2 0． ② L1//L2 s1//s2

m1n1p

1． m2n2p2

4. 会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。 平面 ：Ax By Cz D 0，直线L：

① L s//n

x x0y y0z z0

mnp

mnp

． ABC

② L// s n Am Bn Cp 0且Ax0 By0 Cz0 D 0 ② L在平面 上 s n Am Bn Cp 0且Ax0 By0 Cz0 D 0

（三）简单的二次曲面

了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、圆锥面、椭球面、抛物面、双曲面的方程的图形。

（1）球面方程

球心为M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程：(x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 R2 球心在原点，半径为R的球面方程： x2 y2 z2 R2． （5．30）

（2）母线平行坐标轴的柱面方程

①xoy面上的曲线C：f(x,y) 0为准线，母线平行于z轴的柱面方程：f(x,y) 0 ②xoz面上的曲线C：f(x,z) 0为准线，母线平行于y轴的柱面方程：f(x,z) 0 ③yoz面上的曲线C：f(y,z) 0为准线，母线平行于x轴的柱面方程：f(y,z) 0

母线平行于坐标轴的柱面方程的特点是：方程中缺少变元，母线平行于哪条轴，就缺少相应的变元。

（3）锥面（圆锥面）： Ax2 By2 Cz2 0（A、B、C不同号）

x2y2z2

锥面 2 2 2 0， 特点：仅有三个平方项，且三个系数不能同号。

abc

当三个系数中有两个相等时（如a b），则为圆锥面。 （4）椭球面：Ax2 By2 Cz2 D 0 （A、B、C同号）

x2y2z2

2 2 1 2abc

当三个平方项系数中有两个相等时，称为旋转椭球面 （5）双曲面 ： Ax2 By2 Cz2 D 0（A、B、C不同号）

x2y2z2

① 单叶双曲面 2 2 2 1， 当a b时，为单叶旋转双曲面。

abcx2y2z2

② 双叶双曲面 2 2 2 1， 当b c时，为双叶旋转双曲面。

abc

特点：仅有三个平方项和常数项，且三个平方项系数异号。

（6）抛物面：Ax2 By2 Fz

x2y2

① 椭圆抛物面 2 2 2pz， 当a b时，为旋转抛物面。

abx2y2

② 双曲抛物面 2 2 2pz．

ab

特点：仅有两个平方项和一个一次项。当两个平方项系数同号时为椭圆抛物面，异号时

则为双曲抛物面。

例1：（成都理工大学2013： 理科：解答8分，）

过点A(2, 1,3)作平面x 2y 2z 11 0的垂线，求垂足坐标； 例2：指出下列方程代表的图形是什么

（1）x2 y2 1； （2）x2 y2 z 0； （3）3x2 4y2 5z2 60． （4）x2 2y2 z； （5）2x2 3y2 z2 9； （6）z2 3x2 y2

例3 过点A(2, 1,3)作直线

x 1yz

的垂面，求垂足坐标； 31 2

例4： 求P(2,3, 1)到直线L：

2x 2y z 3 0

的距离。

3x 2y 2z 17 0

例5 求点O(0,0,0)到平面 ：2x y 2z 3 0的距离。

2x 5y 5 0

例6 求通过直线 ，且垂直于平面x 4y 3z 1 0的平面方程

2y z 1 0 例7 通过直线L1：

xyz 1x 1yz

，平行于直线L2：的平面方程。 2 1231 2

成都理工大学2014： 理工 选择3分，

6．已知曲面z 4 x2 y2上点P处的切平面平行于平面 2x 2y z 1 0，则点P 的坐标是【 】

（A）(1,-1,2) （B）(-1,1,2) （C）(1,1,2) （D）(-1,-1,2)

20. 形状如z=x2+y2，0＃z

10的碗形容器。请你给碗标上刻度（高度间隔

Dz=1），使其能够成为一个测量容积的测量器。

222 2x 3y z 9

12. 曲线 2在点M(1, 1,2)的切线方程是： ； 22

z 3x y

2(x2 y2)

20. 设有一高度为h的雪堆，其侧面满足方程z h ，求该雪堆的侧面积与体积；

h