第2讲静电场2(高斯定理)

静电场,高斯定理

上 次 课 内 容 ：

电荷 q1

电荷 q 2

力 电场

库仑定律： F

4 0 r n 1 qi 任意电荷系场强 E r 2 i i 1 4 0 ri2

点电荷场强 E

F 电场强度 E q0

1 q1q2 r 2 4 0 r

q

r

场源电荷和它们的电场分布的关系

静电场,高斯定理

(§1.5 §1.6 §1.7) 格丁根大学教授和天文台台长 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。

高斯 (1777-1855)

德国数学家、物理学家、天文学家。

静电场,高斯定理

一.电场线(电场的图示法) 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E N S Eb =穿过垂直于场强方向的 S b 单位面积的电场线数目 Ea

Ea几种带电体的电场线分布图如下：3

静电场,高斯定理

+负电荷 正电荷

++ ++ + + + + +

带电平行板电容器

+一对等量异号电荷

+

+

一对等量同号电荷4

静电场,高斯定理

2.电场线的性质 1) 电场线起始于正电荷、终止于负电荷，不会形成闭合曲线；

2) 两条电场线不会相交；

说明：电场线为假想的线,电场中并不存在；电场是连续分布的，分立电场线只是一种

形象化的方法

静电场,高斯定理

二、电通量Φe

通过任一面的电场线条数

1) dS

场强

d e EdSdS 2)dS 与 场强 有夹角 d e EdS cos E dS nθ θ

E

E

dS

dS

静电场,高斯定理

3)通过任意曲面的电通量将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量

n

E

dS

d e E d S

e E dSS

电通量可正也可负

900 , e 0, 0 90 , e 0,

静电场,高斯定理

3)通过闭合曲面的电通量

e

S

E dS

n

规定自内向外为面元的法向

电场线穿出，电通量为正， 电场线穿入，电通量为负。

n e E dS 0(穿进=穿出)S

表明闭合曲面内无净电荷

静电场,高斯定理

三. 静电场的高斯定理 1.表述 在真空中的静电场内， 通过任一闭合面 的电通量 这闭合面所包围的电 量的代数和除以 0。

E dS S

qi

i内

0

静电场,高斯定理

2.高斯定理的证明 E dS 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面 S q q 2 4 r e E dS E dS E dS 2SS S

qi

i内

0

4 0 r

2). 点电荷产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面 S’

E

dS

0

dS E

q

+

r

q e E dS S

q

0

+

r

若q在S面外：

S 由于电场线的连续性，穿过闭合曲面S’和穿过球面S的电场线 数目是一样的，因此通过闭曲 q 面的电通量值也等于 。 0 10

e 0

静电场,高斯定理

3).一般情况： qi内 E dS i 任意电荷系产生的电场, 0 S 高斯面

为任意闭合曲面 qi内 证毕 E dS ( E i ) dS ( Ei dS )

S i

S

i

i

0

说明

对电通量 E dS 有贡献的只有面内电荷S

1.闭合面内、外电荷 对 E 都有贡献有源场

2.静电场性质的基本方程

静电场,高斯定理

小议链接1 S

E dS

qi

i内

0q

1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？ 0

2.

若通过一闭合曲面的 则此闭合曲面上的

通量为零，

(1)为零，也可能不为零。 (2)处处为零。

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四. 高斯定理在解场方面的应用 例1 均匀带电球壳 总电量为 Q 内外半径R1R2 求：电场强度分布 解:电荷分布球对称，故场强分布球对称

Q

方向沿径向 取过场点的以球心O为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量

S

E r dS

P

E dS S

S

EdS E dSS

E 4 r 2

静电场,高斯定理

根据高斯定理解方程

2 E dS E4 r E

E 4 r 2

qi

i内

qi

Si

Q

0

4 0 r 2

过场点的高斯面内电量代数和 r R1 r R1 qi 0i

R1 r R2

r R2

E3

E1 0 4 (r 3 R 3 ) Q 1 3 qi 4 ( R 3 R 3 ) i 2 1 3 3

Q

4 0 r

2

Q ( r R1 ) E2 3 3 2 4 0 r ( R2 R1 )3

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E1 0讨论：

Q ( r R1 ) E2 3 3 2 4 0 r ( R2 R1 )3 3

QQ2

E3 均匀带电球

1) R1 0

4 0 r Q2

E

Qr E内 3 4 0 R2

E外

4 0 r

2) R1 R2E内 0

均匀带电球面

E

R

r

E外

Q 4 0 r2

R15

r

静电场,高斯定理

例2 均匀带电的无限长的直线 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量 E ds E d s S

线密度

r ds

P

dE

侧面

两底面

E ds

E 2 rl 0 利用高斯定理解出

l E 2 rl 0

1 E 2 0 r

E

l

r

ds E