第二节 不定积分的换元积分法

本节要点本节通过复合函数的求导公式, 建立了不定积分的换 元积分公式. 一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法

一、第一类换元积分法在这一目中, 我们将主要考虑复合函数的积分问题.1 ln x 1 x 2 我们知道 , 由此得. 2 1 x

1 1 x2

dx ln x 1 x 2 C.

又如, 考虑积分 因为

sin 2 xdx,1 sin 2 x cos 2 x , 2 1 sin 2 xdx 2 cos 2 x C,

即有

即将被积函数写成复合求导形式, 从而求出相应的不定积分, 一般情况又将如何, 这就是下面的积分方法—— 第一类换元积分法.

基本思想: 若 f ( x) 有原函数 F ( x), 即

则

f x dx F x C f x x dx f u du F u u x u x

C F x C .

即有下面的.

定理

设函数

f ( x)有原函数 F ( x), 且u ( x) 可导,

则有积分公式

f x x dx f u du

u x

.⑴

公式⑴又称为凑微分法, 其要点是: 若被积函数能写 成两项的乘积, 且其中的一项为复合函数的形式, 而另 一项可以凑成中间变量的导数形式, 则可以考虑使用此 方法.

证

F u f u , 即

因函数 f u 连续, 故存在原函数 F u , 满足

f u du F u C.再由复合函数的求导公式, 得

f u du u x F x C F x x f x x .

此说明

为函数 f x x 的 f u du u x

原函数, 又因为它含有任意常数, 从而⑴式成立. 注意到, 在⑴中积分公式

f u du F u C的选择, 原函数应该是在基本积分公式中已有的积分.

1 ax bdx a 0 . 解 1 1 1 ax bdx a ax b ax b dx 1 1 1 d ax b ln ax b C. a ax b a例1 求积分

一般地: 当被积函数形式为 f (ax b) 时, 总可作变换 u ax b , 即若f ( x) 有原函数F ( x) , 则

1 f ax b dx F ax b C. a

类似地有

f e x e x dx F e x C ,

f sin x cos xdx F sin x C , 1 f x x dx n 1 F x C, n 1 n 1 n n 1

1 x f ln x dx F ln x C, sec 2 xf tan x dx F tan x C ,

.

1 dx. 例2 求积分 x ln x

ln ln x

1, 得 解 因 ln x x 1 1 1 dx d ln x x ln x ln ln x ln ln xd ln ln x ln x ln ln x

ln ln ln x C.

例3 求积分 解

x 2 3 x 3 2dx.

x

2 3

1 3 3 x 2dx x 2d x3 2 3 4/3 1 3 x 2 C. 43

1 x 例4 求积分 x 2 e dx.解1 1 1 1 x e dx e d e x C. x2 x1 x

1

例5 求积分⑴ tan xdx, ⑵ 解

cot xdx.

sin x 1 dx d cos x ln cos x C , ⑴ tan xdx cos x cos x⑵同理可得

cot xdx ln sin x C.

1 1 dx a 0 . dx a 0 , ⑵ 2 例6 求积分⑴ 2 2 2 a x a x解 ⑴

1 1 a 2 x 2 dx a 2

1 1 x dx d 2 2 a x x a 1 1 a a 1

1 x arctan C. a a⑵同理可得

x dx arcsin C. 2 2 a a x

1

1 dx a 0 . 例7 求积分 2 2 x a 1 1 1 1 解 因 2 , 故 2 x a 2a x a x a

1 1 1 1 x2 a 2 dx 2a x a x a dx

1 1 1 d x a d x a 2a x a x a 1 1 x a ln x a ln x a 2a ln x a C. 2a