板块六.用空间向量解锥体问

题

典例分析

SD 平面ABCD，SD

2a，AD ，【例1】 如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，

点E是SD上的点，且DE a 0 ≤2 ． ⑴求证：对任意的 0，2 ，都有AC BE；

⑵设二面角C AE D的大小为 ，直线BE与平面ABCD所成的角为 ，若tan tan 1，求 的值．

S

E

D

A

C

【例2】 如图，平面PAC 平面ABC， ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，

O分别为PA，PB，AC的中点，AC 16，PA PC 10．

⑴设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

⑵证明：在 ABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

F

A

G

B

【例3】 在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，PA AD 4，

以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N． AB 2．

⑴求证：平面ABM 平面PCD； ⑵求直线CD与平面ACM所成的角的大小； ⑶求点N到平面ACM的距离．

NB

O

D

【例4】 如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形，

P

为侧棱SD上的点． ⑴求证：AC SD；

⑵若SD 平面PAC，求二面角P AC D的大小；

⑶在⑵的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE:EC的值；若不存在，试说明理由．

S

P

B

D

ABC 60 ，【例5】 如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，

E，F分别是BC，PC的中点．

⑴证明：AE PD；

⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD

所成最大角的正切值为E AF C的余弦值．

B

D

【例6】 如图，已知三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，AN BC于N，D是AB的中

点，且PA

1，AN BN CN ⑴求证：PB AC；

⑵求异面直线CD与PB所成角的大小； ⑶求点A到平面PBC的距离．

D

B

N

A

C

【例7】 如图，直二面角D AB E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE EB，F

为CE上的点，且BF 平面ACE． ⑴求证：AE 平面BCE； ⑵求二面角B AC E的大小； ⑶求点D到平面ACE的距离．

D

C

A

B

【例8】 如图，正三棱锥O ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、

F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC

3

或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知OA1 ．

2

⑴求证：B1C1 平面OAH；

⑵求二面角O A1B1 C1的大小的余弦值．

A1A

C1

1

【例9】 如图，在Rt AOB中， OAB

π

，斜边AB 4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以6

直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C是直二面角．动点D在斜边AB上．

⑴ 求证：平面COD 平面AOB；

⑵ 当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； ⑶ 求CD与平面AOB所成角的最大值．

A

D

C

E

B

【例10】 如图，在三棱锥P ABC中，AB BC，AB BC kPA，点O、D分别是AC、

PC的中点，OP 底面ABC．

⑴求证：OD∥平面PAB；

1

时，求直线OD与平面PBC所成角的正弦值． 2

⑶当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？ ⑵当k

D

A

C

ABC 60 ，【例11】 如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，

E，F分别是BC，PC的中点．

⑴证明：AE PD；

⑵若H为PD上的动点，EH与平面PAD

所成最大角的正切值为E AF C的余弦值．

B

D

【例12】 如图，已知三棱锥P ABC中，PA 平面ABC，AN BC于N，D是AB的中

点，且PA

1，AN BN CN ⑴求证：PB AC；

⑵求异面直线CD与PB所成角的大小； ⑶求点A到平面PBC的距离．

D

B

N

A

C