信号与系统第二版课后答案燕庆明

《信号与系统》

（第二版）

课后习题解析

燕庆明主编

高等教育出版社

信号与系统第二版课后答案燕庆明

第1章习题解析

1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

(c) (d)

题1-1图

解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。[提示：f( 2t )表示将f( t )波形

t

压缩，f()表示将f( t )波形展宽。]

2

(a) 2 f( t 2 ) (b) f( 2t )

t

(c) f( )

2(d) f( t +1 )

题1-2图

解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

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图p1-21-3 如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系

统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图

解 各系统响应与输入的关系可分别表示为

di(t)1t

uR(t) R iR(t)；uL(t) LL；uC(t) iC( )d

dtC

1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为 a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

题1-4图

解 系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x( t )，由于x(t) f(t) ( a)y(t) 且 y(t) x(t)dt,

x(t) y (t)

SR

SL

SC

故有 y

(t) f(t) ay(t)

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即 y (t) ay(t) f(t)

1-5 已知某系统的输入f( t )与输出y( t )的关系为y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？

解 设T为系统的运算子，则可以表示为：y(t) T[f(t)] f(t) 不失一般性，设f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则

T[f1(t)] f1(t) y1(t)； T[f2(t)] f2(t) y2(t)

故有 T[f(t)] f1(t) f2(t) y(t) 显然 f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) 即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。

(1) y(t) df(t)dt

t

0f( )d (2) y (t) y (t) 3y(t) f (t)

(3) 2ty (t) y(t) 3f(t)(4) [y (t)]2 y(t) f(t)

解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。

1-7 试证明方程y (t) ay(t) f(t)所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明 不失一般性，设输入有两个分量，且f1(t) y1(t)，f2(t) y2(t)

则有y1

(t) ay1(t) f1(t) y 2(t) ay2(t) f2(t) 相加得 y1

(t) ay1(t) y2 (t) ay2(t) f1(t) f2(t) 即

d

dt

y1(t) y2(t) a y1(t) y2(t) f1(t) f2(t) 可见f1(t) f2(t) y1(t) y2(t)

即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。 1-8 若有线性时不变系统的方程为y (t) ay(t) f(t) 若在非零f( t )作用下其响应y(t) 1 e t，试求方程

y (t) ay(t) 2f(t) f (t)的响应。

解 因为f( t ) y(t) 1 e t，由线性关系，则2f(t) 2y(t) 2(1 e t) 由线性系统的微分特性，有f (t) y (t) e t

故响应2f(t) f (t) y(t) 2(1 e t) e t 2 e t

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第2章习题解析

2-1 如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。

题2-1图

解 由图示，有

iL

uCdR CuCdt

又

i1t

L L 0

(uS uC)dt

故

1

L(uuu CS C) R

Cu C

从而得

u (t) 1RCu 11

C

C(t) LCuC(t) LC

uS(t)

2-2 设有二阶系统方程

y (t) 4y (t) 4y(t) 0

在某起始状态下的0+起始值为

y(0 ) 1,y (0 ) 2

试求零输入响应。

解 由特征方程

2 + 4 + 4 =0

得 1 = 2 = 2 则零输入响应形式为

yzi(t) (A1 A2t)e 2t

由于

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yzi( 0+ ) = A1 = 1 2A1 + A2 = 2

所以

A2 = 4

故有

yzi(t) (1 4t)e 2t,

t 0

2-3 设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。 (a) f( t ) = 2 ( t 1 ) 2 ( t 2 ) (b) f( t ) = sin t[ ( t ) ( t 6 )]

解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。

图p2-3

2-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

题2-4图

解 (a) f( t ) = ( t ) 2 ( t 1 ) + ( t

2 )

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(b) f( t ) = ( t ) + 2 ( t T ) + 3 ( t 2T )

2-5 试计算下列结果。 (1) t ( t 1 )

(3)

(2) (4)

t (t 1)dt

π

cos( t ) (t)dt 0

3

0

0

e 3t ( t)dt

解 (1) t ( t 1 ) = ( t 1 )

t (t 1)dt (t 1)dt 1 ππ1(3) cos( t ) (t)dt cos( ) (t)dt

0 0

332

(2) (4)

2-6 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f ( t )的表达式，对(b)写出f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

题2-6图

解 (a)

1

,2

0 t 2

0

0

e ( t)dt e (t)dt (t)dt 1

0

0

3t

0

3t

0

f ( t ) =

( t 2 )， t = 2

2 ( t 4 )， t = 4

(b) f ( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) 2 ( t 3 ) + 2 ( t 4 )

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图p2-6

2-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。

题2-7图

解 由图(a)有

L

di

uS(t) Ri dt

即

diR1

i uS(t) dtLL

当uS( t ) = ( t )，则冲激响应

1 Lt

h(t) i(t) e (t)

L

R

则电压冲激响应

diR t

h(t) uL(t) L (t) eL (t)

dtL

R

对于图(b)RC电路，有方程

C

duCu iS C dtR

即

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uC

11

uC iS RCC

t

当iS = ( t )时，则

1

h(t) uC(t) eRC (t)

C

同时，电流

duC1 RC

iC C (t) e (t)

dtRC

t

2-8 设有一阶系统方程

y (t) 3y(t) f (t) f(t)

试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。

解 因方程的特征根 = 3，故有

x1(t) e 3t (t)

当h( t ) = ( t )时，则冲激响应

h(t) x1(t) [ (t) (t)] (t) 2e 3t (t)

阶跃响应

s(t) t1

0h( )d 3

(1 2e 3t) (t)

2-9 试求下列卷积。 (a) ( t + 3 ) * ( t 5 )

(b) ( t ) * 2

(c) te t ( t ) * ( t )

解 (a) 按定义

( t + 3 ) * ( t 5 ) =

( 3) (t 5)d 考虑到 < 3时， ( + 3 ) = 0； > t 5时， ( t 5 ) = 0，故

( t + 3 ) * ( t 5 ) =

t 5

3

d t 2,t 2

也可以利用迟延性质计算该卷积。因为

( t ) * ( t ) = t ( t ) f1( t t1 ) * f2( t t2 ) = f( t t1 t2 )

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故对本题，有

( t + 3 ) * ( t 5 ) = ( t + 3 5 ) ( t + 3 5 ) = ( t 2 ) ( t 2 )

两种方法结果一致。

(b) 由 ( t )的特点，故

( t ) * 2 = 2

(c) te t ( t ) * ( t ) = [te t ( t )] = ( e t te t ) ( t )

2-10 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。

题2-10图

解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即

f1( t ) = 2 ( t ) 2 ( t 1 ) f2( t ) = ( t ) ( t 2 )

故

f1( t ) * f2( t ) = [2 ( t ) 2 ( t 1 )] * [ ( t ) ( t 2 )]

因为

( t ) * ( t ) =

t

1d = t ( t )

故有

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f1( t ) * f2( t ) = 2t ( t ) 2( t 1 ) ( t 1 ) 2( t 2 ) ( t 2 ) + 2( t 3 ) ( t 3 )

读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。

(b)根据 ( t )的特点，则

f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[ ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 )]

= f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。

图p2-10

2-11 试求下列卷积。 (a) (1 e 2t) (t) (t) (t)

(b) e 3t (t) d

dt

[e t (t)]

解 (a)因为 (t) (t) (t) (t)，故

(1 e 2t) (t) (t) (t) (1 e 2t) (t) (t) (1 e 2t) (t)

(b)因为e t (t) (t)，故

e 3t (t)

ddt

[e t

(t)] e 3t (t) (t)

(t) 3e 3t

2-12 设有二阶系统方程

y (t) 3y (t) 2y(t) 4 (t)

试求零状态响应

解 因系统的特征方程为

2 + 3 + 2 =0

解得特征根

1 = 1， 2 =

2

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故特征函数

x2(t) e 1t e 2t (e t e 2t) (t)

零状态响应

y(t) 4 (t) x2(t) 4 (t) (e t e 2t) (t)

= (8e 2t 4e t) (t)

2-13 如图系统，已知

h1(t) (t 1),h2(t) (t)

试求系统的冲激响应h( t )。

题2-13图

解 由图关系，有

x(t) f(t) f(t) h1(t) (t) (t) (t 1) (t) (t 1)

所以冲激响应

h(t) y(t) x(t) h2(t) [ (t) (t 1)] (t) (t) (t 1)

即该系统输出一个方波。

2-14 如图系统，已知R1 = R2 =1 ，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。

题2-14图

解 由KCL和KVL，可得电路方程为

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(CuC

R1R2C1R1

( 2)uC (t) 2 (t) )uC

R1LLR1LR1R1L

代入数据得

2uC 2uC (t) (t) uC

特征根

1,2 = 1 j1

故冲激响应uC( t )为

uC(t) (eλ1t eλ1t)*[ (t) (t)]

e t(cots sint) (t) e tsint (t)

e tcost (t)V

2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = ( t )时，全响应y1( t ) = 3e 3t ( t )；当输入f( t ) = ( t )时，全响应y2( t ) = e 3t ( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。

解 因为零状态响应

( t ) s( t )， ( t ) s( t )

故有

y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e 3t ( t ) y2( t ) = yzi( t ) s( t ) = e 3t ( t )

从而有

y1( t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e 3t ( t )

即

s( t ) = e 3t ( t )

故冲激响应

h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e 3t ( t )

2-16 若系统的零状态响应

y( t ) = f( t ) * h( t )

试证明：

df(t)t

(1) f(t) h(t) h( )d

dt

(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应

s(t) h( )d

t

证 （1）因为

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y( t ) = f( t ) h( t )

由微分性质，有

y ( t ) = f ( t ) h( t )

再由积分性质，有

t

y(t) f (t) h( )d

（2）因为

由（1）的结果，得

s( t ) = ( t ) h( t )

s(t) (t) t

h( )d

(t) t

h( )d

t

h( )d

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第3章习题解析

3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。

题3-1图

解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为

f(t) ATt

系数

a1T0

T 0f(t)dt 1TAtT 0Tdt A

2

a2T2AT

n T 0f(t)cosn 1tdt T2 0

t cosn 1tdt

2A tsin

n T

1t T2

n 0 10 b2AT2AT

n T 0f(t)sinn 1tdt T2 0

t sinn 1tdt

2A tcosn T

1t T2

A

n 10

nπ所以三角级数为

) A f(t2 A

sinn 1t

n 1nπ

3-2 求周期冲激序列信号

T(t)

n

(t nT)

的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？

解 冲激串信号的复系数为

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1T1Fn 2T (t)e jn 1tdt

T 2T

所以

1 jn 1t

T(t) e

Tn

因Fn为常数，故无收敛性。

3-3 设有周期方波信号f( t )，其脉冲宽度 = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若 压缩为0.2ms，其带宽又为多少？

解 对方波信号，其带宽为 f 当 1 = 1ms时，则

f1

1

1

Hz，

1

1

1

1000Hz 0.001

当 2 = 0.2ms时，则

f2

2

1

5000Hz

0.0002

3-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。

题3-4图

解 (a)因为

t

,

,t t