第三单元函数的应用

A 卷

本试卷满分：100分；考试时间：90分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1.已知α、β分别是方程2x=3-x、log2 x=3-x的根，则α+β=（）

A．3 B．πC．3.2 D．2.8

2.已知ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，则方程ln x=6-2x的根所在范围是（）

A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）

3.下列函数与x轴都有公共点，其中不能用二分法求函数零点的是（）

4.某同学从家到学校先匀加速跑步，后匀速步行余下的路程．设该同学用在路上的时间为t，到学校的路程为d，能反映该学生行程的是（）

5.方程x x=2x的解有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6.已知e≈2.7183，下列以e为底的对数中近似值有明显错误的是（）

A．1n 3≈1.10

B．ln 2≈0.69f

C．ln 7≈1.95

D．ln 0.6≈0.51

7.某同学进大学时向银行申请不计复利的低息贷款，第五年后一次性还清贷款，若年利息是4%，入校时该同学贷款了2 000元，第五年后应还贷（）

A．2 433.31元

B．2 339.72元

C．2 400元

D．2 320元

8.某种成年食用牛的体重w（kg）与它胸围x（m）有近似关系：w≈200+300x，牛的出栏体重要在400～600 kg之间，它的胸围约在（）m之间．

A．0.5～1.25

B．0.67～1.00

C．0.5～1.00

D．0.67～1.33

9.已知函数f（x）在区间（-1，5]上是连续的，并且f（x）的部分函数值如下表，则函数f（x）-2x的图象与x轴的交点一定在区间（）

A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）

10.若f（x）=0的惟一解同时在区间（0，1）、（0，2）、（0，4）、（0，8）内，则（）

A．f（x）在区间（0，0.5）内有零点

B．f（x）在区间（0.5，1）内有零点

C．f（x）在区间[1，8）上无零点

D．f（x）在区间（0.5，8）内无零点

答案：l．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

11.方程2x=7-3x的近似解是x≈__________．（精确到0.1）

答案：x≈1.4

12.假设你有一笔资金用于投资，选择的方案是：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番，设第x天所得回报是y元，则函数表达式为__________．答案：y=0.4×2x-1(x∈N*)

13.我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55 196e0.021t，t∈N，1958年我国当时人口数量约为__________．

答案：约66 678万

14.容器里水的温度随时间变化的函数模型是y=ae bt+20，当t=0时，y=97，计算机模拟的如图所示，则这个函数的解析式为__________.

答案：y=77e-0.027t+20

三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

15.设函数f （x ）为定义在{x ∈R| x ≠0，且x ∈R ）上的奇函数．当x ≤-1时，函数y=f （x ）的图象是经过点（-3，0）和（-1，2）的射线；当-1≤x<0时，函数y=f （x ）的图象是以点（0，1）为顶点且开口向上的抛物线的一部分．

（1）求函数y=f （x ）在定义域{x ∈R|x ≠0，且x ∈R ）内的表达式；

（2）画出函数的图象；

（3）若对于任意x>0时，不等式2f （x ）≥x+a 恒成立，求a 的取值范围．

答案：（1）当x ≤-1时，设f （x ）=mx+n （m ≠0），则⎩⎨⎧=+-=+-203n m n m ⇒⎩⎨⎧==3

1n m ∴当x ≤-1时，f （x ）=x+3；又当-1≤x<0时，f （x ）是抛物线，则f （x ）实际上经过点（-1,2），依题意设f （x ）=ax 2+1，则a （-1）2+1=2⇒a=1，∴当-1≤x<0时，f （x ）=x 2+1；由奇函数的定义得出整个定义域上表达式是：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥-≤<--<≤-+-≤+1,3,

10,1,01,1,1,3)(22x x x x x x x x x f （2）图象如右图所示

（3）∵当x>0时，不等式2f(x)≥x+a 恒成立, ∴a ≤2f(x)-x 恒成立，即a ≤（2f(x)-x ）min =（2f （1）-1）=-5，∴a ≤-5

16.设α、β（α<β）分别是二次方程ax 2+bx+c=0和ax 2-bx-c=0的非零的根，求

证：函数f （x ）=2a x 2+bx+c 总在区间（α，β）有零点．