第八章常微分方程

第八章常微分方程

第八章微分方常程第一 常微节分程的基方本念与概分 变离法 第二节 量阶线一微性分方与程可 阶的高降微分方程阶第三节 阶常系二数线性微分方程

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第节 常一微分方程的本基念与 分离概变法一、量分微方程的本概基念二、分 离量变法

第八章常微分方程

第一 节微常方程的基本分概与分念变量离法一微分、程的方基本概微分方程：念含未有知函数的数导或(分)微方的称程微 为分方.特程当别分方程微中含所的知未数函一是函数时元这 时的，微方程就称分为 微分方常程

微分方程的阶：微分.程方，所中含知未函数导的的最数 阶高数义为该定分微方的阶数程

线性.分方程微：当分微方中程含的所知未函及其数阶各 导全数是次一幂，时分方微程就称为线微性分程.方在线 微性方程分，若未中知函数及其各阶数导的数系是常数，全则 称这样的分方微程为系数线常微性方分程.

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微分方的解：程如 果将函数y y( x ) 代 入分方微后程能方使程为成等恒，式这个数函称就该微分方程为 解的 微分.程的方有解种两形：式一不种含意任常数；种 一含有意任常.数果如解包含任意中数常且独，的立任意常 的个数数方与程阶数相的，同则这称的样为解微分常程 方通的，解含不任意有常的解，数称为微方程的特解.初始分条件： 用未函知及其各阶数导数在某特定个的点 作值确定为解通任意常数中条的，件为初称条始件.阶一微方程的初常始条件 为 y( x0 ) y ,其0 中x0 , y 是0个已知数两.二阶微分方程的初始件为条 y x(0 )

y 0 , y ( 0x ) y 0 .

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例 1验函数证y C 1e x C2 e 2x C(1 ,C 2任意常为)数

二阶微为分方程 y 3 y 2 y 0 的 解通，并求方程满 足初始该条件 y0() 0, y ( 0) 1 的特解.解

C1y x e 2Ce 2 x , y C 1 xe 2 2eC2x ,y C e1x 42C2e x , y, y将 , y 入代程 方 y y 3 2 y 左0端得，Ce 1x C24 e2 x (C31 xe 2C2e 2x ) (C21 x e C2 e x ) 2 ( 1 C C 13 2 C ) e 1x ( 4 C 2 6 C 2 2 C 2 ) e 2x 0 ,所以，数函y Ce x 1+2 eC 2 x所给微是方分程解的又因 为，.这个 解中有个独两立的任常数意 ，与方程阶数相的同 所，它以所是给分方微程的通解.

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初始由条 件y(0) 0 ,我们 得1C C 2 0 , 由 初始条y (件0) ,1C得 12 C 2 1 . 所以C 2 1 ,1C 1 .是于，满x 2 足所x给始初条的特解为件 y e e . 设定义 1线(性关相线性，关) 函 无数y ( x1) , 2y( x ) 定是义在区间 a(, b)内 函的数若，存两个不全在零为数的k1, k2 ,得对使 于(a ,b )内任一的x 恒 k有 1y1 k2y 20成,则立称数函 1 y ,2 在(ya ,b 内线性相关，否则称)线性 为关无

.

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1y 1 y y2,线性相关 充的必要条分件 是(a在, ) b间区 y内 2y恒 常数. 1 不恒为为数，常y 1 y,2线 无性.关y1 若 则当 y 2与 y 线2性关，无数 函y C 1 y 1 2Cy 2含中两个独立 有任意常的数 1C 和C2 .

、二离分量变法义定2 量的方变.可程离分变方程量特点：的等式边可以右解成分个函数之两 ，其积中个一是 只 的函x,另一数只是 个y 的函数

.形如

d f y( ) x g( y) 方程的称，为分可离dx

可

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分离量变程方解的法(:1) 离变量： 分将该方程为化等一式边只含量变 y, 而另 一只含变量边 x的形式 ，dy即 f( )x x 其d中g (y )0 g( y)(2)两边分积：

dy g ( y)

f ( x)d

(x3计)上述算不定分，积得解通

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例2.求 y' xy 0的通 .解解

方变程形为分变量得

d离y y x,d xyd x xd y 0 ,ydy y d x x,

边积两分得求积 得

分 12ln | y | x C1 ,1 2 x2 1 2C1 x22 所以 即

|y |

ee 1 eC Ce 1 2x 2,

y eC 1e1 2 2

1 x x2 2

(C e1C) ,方程通解为y e

(CC 为任 意常数).

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例 3 设落降伞从伞塔下落，所受跳气空阻与力度 速成正比降，落离伞塔顶 开(t 0 时的)度为零.速求落降伞下 速落度时与 t 间函的数关系.解设 落伞降落 下度速 为vt( ) 时所受伞气空力阻为 kv(负号表 阻力示运与动向方反相，k 为 常)数. 外，另伞下在降过中还程重受 力P m g作，用由故顿牛第定律二 vd gm k v且 有初始件条v |t: 0 0 于是，所给 问题归 dt结 求解为初问题 值 v d m gm kv, t d vt | 0 0 ,得m

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上述对程分方变量离得

vdd t , mg k mv边积分两得vd td mg kv m ,

可得1 t ln| gm v |k C1 k m kR kv ,

P mg

理得

整 t mg1 kC 1 mv Ce C e . kk

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m mg g0 e C,C 由初始条得 0件 即 ,故求所解为特k kk t mg v (1 e m ) . k由此可见随着 t 的增，,大度 速 v逐变渐大且于趋mg mg 常数 但不，会过超， 这明说伞跳后，开始阶 k 段 是加k运动速以，逐渐后趋于匀速动.运

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思考题1.分方程通微解的中任常数意C 最 终可表为C示 eC1 , in sC2 C( 1,C 2 为任意数实，l) Cn (33 C为数，实3 0 ) 等形式？吗 2微.分方的程解的图特形是一曲条线 (积分线) 曲 通解，的形是图族一分曲积，线问 解通中 …… 此处隐藏：1084字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……