2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合A {x| 2 x 1}，B {x|0 x 2}，则集合A B

A.{x| 1 x 1} B.{x| 2 x 1} C.{x| 2 x 2} D.{x|0 x 1}

2.若复数z1 1 i，z2 3 i，则z1 z2

A.4 2i B.2 i C.2 2i D.3 i

3.若函数f(x) 3 3与g(x) 3 3定义域均为R，则

A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

4.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2a3 2a1，且a4与2a7的等差中项为x xx x5，则S5 4

12”是“一元二次方程x x m 0有实数解”的 4

3BB 2A.35 B.33 C.31 D.29 5.“m A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图， ABC为正三角形，AA //BB //CC ，CC ⊥平面ABC且3AA

CC AB，则多面体ABC A B C 的正视图(也称主视图)是

A. B. C. D.

) 7.已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(，则P(X 42 X 4)0 .6826

A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A.1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在

题中横线上.

（一）必做题（9～13题）

9.函数f(x) lg(x 2)的定义域是___________. 10.若向量a (1，满足条件(c a) (2b) 2，1，x)，b (1，2，1，1)，c (1，1)，

则x _______.

11.已知a、b、c分别是 ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a

1，b ，A C 2B，则sinC ___________.

12.已知圆心在x

的圆O位于y轴左侧，且与直线x y 0相切，则圆O的方程是_________.

13.某城市缺水问题比较突出，为了指定节水管理办法，对全市居民某年的平均用水量进行抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，...，xn（单位：吨）.根据如图所示的程序框图，若n 2，且x1、x2分别为1、2，则输出结果S为

___________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选作题）如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD 2a， OAP 30 ，则CP

_____________. 3

15.（坐标系与参数方程选作题）在极坐标系( ，中，曲线 2sin )（0 2 ）

与 cos 1的交点的极坐标为___________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分14分）

已知函数f(x) Asin(3x )(A 0，x R，0 )在x

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求f(x)的解析式； ⑶若f( 12时取得最大值4. 2

3 12) 12，求sin . 5

17.（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为

样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，...，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

⑴根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.

⑵在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列.

⑶从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率

.

18.（本小题满分14分）

AC的中点，AEC是半径为a的半圆，如图，点E为 点和点C为线段ADAC为直径，

的三等分点，平面AEC外一点F满足FB FD ⑴证明：EB FD； ，FE .

⑵已知点Q、

R分别为线段FE、FB上的点，使得FQ

面BED与平面RQD所成二面角的正弦值. 22FE，FR FB，求平33

19.(本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的盐水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

20.（本小题满分14分）

x2

已知双曲线 y2 1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1， y1)是2

双曲线上不同的两个动点.

⑴求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

⑵若过点H(0，h)(h 1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1 l2，求h的值.

21.（本小题满分14分）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离d(A，B) x2 x1 y2 y1.对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2).

⑴若点C(x，y)是平面xOy上的点，试证明：d(A，C) d(C，B) d(A，B)； ⑵在平面xOy上是否存在点C(x，y)，同时满足①d(A，C) d(C，B) d(A，B)②d(A，C) d(C，B).若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.