利用空间向量求空间距离

利用空间向量求空间点面距离,平行线面距离,平行平面间的距离

空间向量之应用3 空间向量之应用 ---利用空间向量求距离 利用空间向量求距离

利用空间向量求空间点面距离,平行线面距离,平行平面间的距离

几种常考的空间距离回顾点到平面的距离： 点到平面的距离： 转化 平行线面间的距离

两平行平面间的距离 转 化

两异面直线间的距离

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如图 A∈ α , 空间一点 P 到平面 α 的距离为 d,已知平面 α 的 , r uuu r r uuu r r 不共线, 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

探究： 探究：如何用向量法求点到平面的距离 P

分析:过 P 作 PO⊥ α 于 O,连结 OA. 过 ⊥ 连结r uuu uuu r 则 d=| PO |= | PA | cos ∠APO . uuu r r uuu r r ∵ PO ⊥ α , n ⊥ α , ∴ PO ∥ n . uuu r r cos∠ ∴cos∠APO=|cos PA, n |.

r n

α

A

O

uuur r uuu r r uuu r r uuu r uuu r r | PA | | n | | cos PA, n | | PA n | uur r ||cos = uu . ∴d=| PA ||cos PA, n |= |n| |n|

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 这个结论说明 平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点 常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 上的任一点 常选择一个特殊点 的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值. 绝对值

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的边长为4, 例1、已知正方形 、已知正方形ABCD的边长为 ， 的边长为 CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 ABCD, AB、 ⊥平面ABCD CG=2,E、 分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离。 的中点， GEF的距离 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z

G

x D F A E B

C

y

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如图， 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. - . 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), , , , D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). , , , .uuur uuu r EF = (2, 2, 0), EG = ( 2, r 2), 4, 的一个法向量为 设平面 EFG 的一个法向量为 n = ( x, y, z)

zG

Q

r uuu r uuu r r n ⊥ EF, ⊥ EG n

xF A

D

C

2 x 2 y = 0 ∴ 2 x 4 y + 2z = 0

取y = 1 r uuu r n = (1,1,r3)uuur BE = (2, 0, 0) , | n BE| 2 11 . ∴d = = r 11 n

E

B

y

2 11 的距离为 . 即 点 B 到平面 EFG 的距离为 11

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的边长为4, 例1、已知正方形 、已知正方形ABCD的边长为 ， 的边长为 CG⊥平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、 ABCD, AB、 ⊥平面ABCD CG=2,E、 分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离。 的中点， GEF的距离 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z(2)求直线BD到平面GEF的距离。 求直线BD到平面GEF的距离。 BD到平面GEF的距离

G

r uuur | n BE| 2 11 d= = . r 11 n

x D F A E B

C

y

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练习1: 练习 SA⊥ 平 ABCD ∠DAB= ∠ABC = 90° 面 ， , SA= AB = BC = a, = 2a, AD z A 平 SCD 距 。 求 到 面 的 离S

A B x C

D y

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练习2: 练习

如图, 是矩形, ⊥ D C 如图, ABCD 是矩形, PD⊥平面 ABCD , P =D =a, AD = 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点, 的中

点, 的距离. 求点 A 到平面 MNC 的距离.P

N D M A B C

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: 如 图 ,以 D 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D- xyz

2 a ,0 ,0),B( 2 a ,a ,0),C( 0,a ,0),P(0,0,a ) 2 2 1 1 a ,0,0) N ( a , a, a ) N PB ∵ M、 分 别 是 AD 、 的 中 点 , ∴ M ( 2 2 2 2则 D(0,0,0),A(r uuuu uuuu r 2 2 1 1 z uuur a , a , 0) , MN = (0, a , a ) , MA = ( a , 0, 0) ∴ MC = ( P 2 2 2 2 r r uuuu r uuuu r r 的一个法向量, 设 n = ( x , y , z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ⊥ MN , n ⊥ MC r uuuu r 2 N ax + ay = 0 且 ∴ n MC = C D y 2 r uuuu a r a M n MN = y + z = 0 2 2 2 A x = y = z , 解得 B 2 x ur ∴可取 m = ( 2,1, 1) uuur rMA n a uuur r a = 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d = r 2 2 n

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练习3: 练习 正方体AC 棱长为 ， 与平面GB 正方体 1棱长为1,求BD与平面 1D1的 与平面 距离 DD1 n Z C1 d = D1 n BA11

G A X

D B

C Y

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练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。z

d=

AB nA1

N

D1

F E

C1

nA

M B1 D B

C

y

x

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例4已知直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 的侧棱 AA1 = 4 ,底面 △ABC 中，

AC = BC = 2 , ∠BCA = 90o , E 是 AB 的中点, 的中点,的距离. 求异面直线 CE 与 AB1 的距离.C1 A1

zB1

C A B

x

E

y

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例4

. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 = 4 , 底 面

△ABC 中 , AC = BC = 2 , ∠BCA = 90o , E 是 AB 的 中 点 , 求 …… 此处隐藏：1665字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……