相似矩阵与矩阵可对角化的条件-1
发布时间：2024-11-04
相似矩阵
§4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 (一)相似矩阵及其性质 定义4.3 设A,B是n 阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P, 使得 P 1 A P B 成立,则称矩阵A与B 相似, 记为 A ~ B 例如P 1
1 A 0
0 0
1 B 0
1 0
1 P
P
*
1 A 11 1 A1 21 1 1 0
A21 1 A22 00 1 0 0
1 1
1 P 0
1 可逆 1
P
1
1 AP 0
1 1 1 0
1 1 1 1 1 0 0 0
1 B 0
A ~ B
相似矩阵
存在可逆矩阵P,使得 P 1 A P B 注意: 1) 只有同阶方阵才有可能相似 2) 只要能找到可逆矩阵P,满足 P 1 A P B 就有 AA ~ B
~B
3)B P
P = 若干个初等矩阵的乘积 1
P G 1 G 2 ... G k
A P ( G 1 G 2 ...G k ) 1 A ( G G ...G ) 1 2 k ( G k ...G 2 G 1 1 1 1
) A ( G 1 G 2 ...G k )
A
B
经过k次列变换, k次相应的行变换后
相似矩阵
例1 若已知
2 A 4
1 1
,与A相似的矩阵有多少？
则P 解 如果P是可逆矩阵， -1AP B 与A相似 如果P1, P2,P3,P4,…都是可逆矩阵，则
P1-1AP1 ,P2-1AP2 , P3-1AP3 , P4-1AP4……都 与A相似. 可逆矩阵有许多,故与A相似的矩阵有许多. 例 单位矩阵 I 只与自己相似,I~ B kI ~ BB P 1
IP P
1
P I 1
k 0 kI 0 1
0 k 0
... ...
...
0 0 k
只与自己相似
B P
1
(kI )P kP
IP kP
P kI
相似矩阵
“相似”是矩阵之间的一种关系， 有性质： (1)反身性：对任意方阵A,有 A ~ A (2)对称性：若 A ~ B 则 B ~ A (3)传递性：若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C证 (1) 由 (2) 由 AA PBP
I
1
I
A IA I I
1
AI
A ~ AP BP A P P 1 1
~ B (P
知 1
PB PP 1
1
AP 1
1
)
B(P
1
) Q AP
BQ~ C 1
B ~ AC 知， Q 1
(3) 由 AC Q 1
~ B
知，B 1
P
1
由B 1
BQ A( PQ )
BQ Q
( P
1
A P )Q ( Q
P
) A ( P Q ) ( P Q )
1
A ~ C
相似矩阵
相似矩阵有如下性质： 1)相似矩阵有相同的秩: A ~B r( A) r(B ) A B 2)相似矩阵的行列式相等. A ~ B I A I B 3)相似矩阵有相同的特征多项式. A ~ B 4)相似矩阵有相同的特征值. 当它们都可逆时， 5) 相似矩阵或都可逆或者都不可逆， 它们的逆矩阵也相似. A与B可逆性相同, 当它们都可逆时， 1 ~ B 1 A A ~B6)A~B 7) A~B 8)A~B AT ~BTA ~ Bk k
k为任意非负整数. (A)和f (B)分别是A,B的多项式.
f ( A ) ~ f ( B ) 其中f
相似矩阵
证1)由A~B 知 , B= P-1AP ( G k ...G 2 G 1 1 1
( G 1 G 2 ...G k ) 1
1
A ( G 1 G 2 ...G k )
) A ( G 1 G 2 ...G k ) 1
A
B
P 1
∴秩(A)=秩(B)B P 1
2) 由A~B 知 B
AP
AP P
A
P
1 P
A P A
3)由A~B 知 , B= P-1AP I B I P P 1 1
AP P 1
1
IP P
1
AP
( I A ) P PA B
I A P
1 P
I A P I AB 0
5) 由A~B 知 1
A可逆
A 0
B可逆
由B=P-1APB (P 1
1 A P ) P 1 A 1 ( P 1 ) P 1 A 1 P
1
∴A-1 ~ B-1
相似矩阵
6) 当k=0 时I ~ I
A A Ik0
B B Ik0
A Ak
k
~ B1
k
当k=1 时 A ~ B
A Ak
B
k
B B1
A
~ B
k
当k=2,3,4,…时,由 ABk
~B
B P 1
1
AP 1 1
P
1
AP
k
( P A P )( P A P ) ( P A P ) ... ( P A P ) k个
1
=
P-1Ak P
∴Ak ~Bk
相似矩阵
7 ) 由A~B 知 B=P-1APBT
∴AT ~BT
P
1
AP
T
P A (PT T
1
) P A (P )T T T T
1
Q A QT
1
8 ) 由A~B 知 B=P-1APf ( B ) a 0 I a1 B a 2 B2
Q ... a n B 1
n
a0 P a0 P P 1
1
IP a1 ( P IP a1 P
1
AP ) a2 ( P 1
A P ) ... a n ( P2 1 n
1
AP )
n
1
1
AP a2P2
A P ... a n P2 n
A P
( a 0 I a 1 A a 2 A ... a n A ) P P 1 f ( A ) P
∴f ( A ) ~ f ( B )
相似矩阵
(二)n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件所有与A相似的矩阵 它们有许多共同的性质 1
所有与B 相似的矩阵 它们有许多共同的性质
P1
AP 1
A
P2 AP 2 P3 AP 3 1
1
P1 BP 1
1
B
P 2 BP 2 P 3 BP 3 1
1
P4
1
AP 4 ...... 1 其中是否有 0 0 0 ... ...
P4 BP 4 ......0 0 n
1
找一个最 简单的
2 0
...
相似矩阵
定义
1 0 如果矩阵 A~ 0
0
... ...
2 0
...
0 0 n 0
则称A可对角化.
矩阵A可对角化
1 0 A ~ 0
... ...
2 0 1
...
0 0 n
存在可逆矩阵P,使得
P
AP
1 0 0
0
... ...
0
2 0
...
0 n
相似矩阵
1 0 矩阵A可对角化 A ~ 此时,A与Λ 有相同的特征值。 0 0 0 0 ... ... 0 1 0 0 0
0
... ...
2 0
...
0 0 n
0
... ...
I
0
2 0
...
...
1 0 0 0 0 n
0
... ...
0 0
2 0
...
n
( 1 )( 2 )...( n )
Λ 的特征值为 1 , 2 , ..., n
故A的特征值为 1 , 2 , ..., n
即如果矩阵A可对角化，A~对角矩阵Λ 则Λ的主对角线上的元素
1 , 2 , ..., n 为矩阵A的特征值.
相似矩阵
1 2 例 A 2和3为A的全部特征值. 4 1 2 1 是对应于3的特征向量 1 是对应于2的特征向量 2 1 1 A 2 3 2 A 1 2 1 2 0 A 1 A 2 2 1 3 2 1 2 A 1 2 0 3 2 1 2 A 1 1 1 1 2 1 0
1 2
1 2
0 3
1×2
1×2
2×2
2 AP P 0
0 3
P
1
2 AP 0
0 3
1, 2 1, 2
对应于不同特征值 线性无关.
对角矩阵 2 1 1 P 1
1
2
可逆
相似矩阵
定理4.3 n 阶矩阵A与n
1 阶对角矩阵 0 0
0
... ...
2 0
...
0 0 n
相似的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量.A可对角化 A有n个线性无关的特征向量
相似矩阵
证 必要性 设
1 0 A~ 0
0
... ...
2 0
a 11 a 21 a n1
a 12 a 22 an2
... ...
...
a1n a2n a nn
p 11 p 21
p 12 p 22 pn 2
pn1
x1
x2
p 1 n p 11 p 12 ... p 1 n 1 p 21 p 22 ... p 2 n 0 ... p 2 n p n 1 p n 2 ... p nn 0 ... p nn xn ... xn x1 x2 ... ...
...
0 0 n
即存在可逆矩阵P,使得P P 1 AP P AP P 0 ... ... 0 0 n
2 0
...
A x 1 x 2 ... x n Ax 1 Ax2
n
x 1 x 2 ... x n
... Ax
1×n
10 0
0
... ...
2 0
...
x 1 , x 2 ,..., x n 是 A 的特征向量 x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关 P 0 ∵P可逆
n×n
0 0 n
x 1 1
x 2 2 ... x n n
Ax 1 1 x 1 Ax 2 2 x 2 ... Ax n n x n
A可对角化
λ 1 , 2 ,..., n是A的特征值 A有n个线性无关的特征向量
相似矩阵
充分性 设A有n个线性无关的特征向量 设 x 1 , x 2 , ..., x n 是A的n个线性无关的特征向量设 1 , 2 , ..., n是相应的特征值A x 1 1x 1 A x 2 2x 2...A x n nx n0 0 n
A x1x1 p 11 p A 21 A pn1
A x 2 ... A x n x 1 1
2 x2
A x 1 x 2 ... x n
...... ...
x2
...... ...
xnp1 n p2n p nn
x1 p 11 p 21 pn1
x2p 12 p 22 pn 2
p 12 p 22 pn 2
...
...
0 ...
1 ... n x n 2 ... 0 x 1 x 2 ... x n xn 0 ... 0 0 ... 0 p1 n 1 p2n 0 2 ... 0 p nn 0 0 ... n
AP P P 1
x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关 A~
P 0
∴P可逆
AP
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
相似矩阵
A可对角化A不可对角化
A有n个线性无关的特征向量A没有n个线性无关的特征向量 1 0 则 A~ Ax n n x n 0 0 ... ... 0 0 n
推论 若矩阵A有n个相异的特征值 1 , 2 ,..., n
2 0
证 设
Ax 1 1 x 1 Ax 2 2 x 2 ...
...
由于 1 , 2 ,..., n 互不相同
x 1 , x 2 ,..., x n 线性无关
x 1 , x 2 ,..., x n 是 A 的 n 个线性无关的特征向量
所以A可对角化.
A有n个相异 的特征值
A可对角化 注意
相似矩阵与矩阵可对角化的条件-1.doc
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