数学人教A必修1第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元检测

参考完成时间：120分钟 实际完成时间：____分钟 总分：150分 得分：_____ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知集合M＝{－1,1}，N x 1

2x 1 4,x Z ，则M∩N＝( ) 2

A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0} 2．2

1 1

2

log25等于( )

A．2

B

．C．2

D．1

3．幂函数y＝f(x)的图象经过点

4,1 ，则f 1

2

4

的值为( ) A．1 B．2

C．3 D．4

4．函数f(x)

＝

x 1

＋log4(x＋1)的定义域是( ) A．(－1，＋∞) B．[－1,1)(1,4] C．(－1,4)

D．(－1,1)(1,4]

5．已知f(x3)＝lg x，则f(2)等于( ) A．lg 2 B．lg 8 C．lg

18 D．13

lg 26．函数y lg

2 1 x 1

的图象关于( )对称． A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x

17．已知函数：①y＝2x

；②y＝log2x；③y＝x－1

；④y x2

；

则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )

A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②

2ex 1,x 2,

8．设f(x)＝ 则f(f(2))等于( )x

log3(2 1),x 2,

A．0 B．1

C．2 D．3

9．已知f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)，若x (－1,0)时，f(x)＜0，则f(x)是( ) A．增函数 B．减函数 C．常数函数

D．不单调的函数

10．若0＜m＜n＜1，则( )

A．3n＜3m B．logm3＜logn3

1 1

C．log4m＜log4n D．

4 4

ax,x 1,

11．若f(x)＝ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( ) a

4 2 x 2,x 1

A．(1，＋∞) B．[4,8)

C．(4,8) D．(1,8)

12．设函数f(x)＝loga|x|(a＞0且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系为( )

A．f(a＋1)＝f(2) B．f(a＋1)＞f(2) C．f(a＋1)＜f(2) D．不确定

mn

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．与函数f(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称的曲线C对应的函数为g(x)，则g ＝__________．

14．(log43＋log83)(log32＋log98)＝__________．

15．已知函数f(x)＝a－log2x的图象经过点A(1,1)，则不等式f(x)＞1的解集为__________．

16．1＜x＜d，a＝(logdx)2，b＝logdx2，c＝logd(logdx)，则a，b，c的大小关系是__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知a＝(2

1，b＝(2

1，求(a＋1)2＋(b＋1)

－

－

－

－2

1 2

的值．

1 x

的定义域为(－1,1)， 1 x1 1

(1)求f f ；

2013 2013

18．(12分)已知f(x)＝lg

(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．

1

19．(12分)已知幂函数y＝f(x)＝xm m(m N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

2

(2)若该函数还经过点(2

，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

20．(12分)已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝m·3ax－4x的定义域为[0,1]． (1)求a的值；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

21．(12分)要使函数y＝1＋2x＋4xa在x (－∞，1]上恒大于零，求a的取值范围．

22．(12分)已知函数f(x)＝x

1 1 ， x

2 12

(1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求证：当x≠0时，f(x)＞0．

参考答案

1．B 点拨：

1＋－＋

＜2x1＜4 21＜2x1＜22 －1＜x＋1＜2 －2＜x＜1． 2

N＝{－1}．

1

又∵x Z，∴N＝{－1,0}．∴M2．B

点拨：2

1

1 log252

2 2log

1 1

3．B 点拨：设幂函数为f(x)＝xa，将 4, 代入得a ．

2 2

2 2

log252

1 1

从而f(x)＝x，则f

4 4

1 2

12

2

1 2

2

＝21＝2．

4 x 0，

4．D 点拨：要使函数有意义，需 x 1 0，解得－1＜x≤4且x≠1，即函数的定义域

x 1 0，

为(－1,1)

(1,4]．

5．D 点拨：令x3＝2

，则x 于是f(2)

＝

1

lg2． 3

1 x1 x1 x 2

lg6．C 点拨：因y lg ，f(－x)＝lg＝－f(x)，函 1 lg

1 x1 x1 x1 x

数为奇函数，故其图象关于原点对称．

7．D 点拨：根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D． 8．C 点拨：∵f(2)＝log3(22－1)＝1，

－

∴f(f(2))＝f(1)＝2e11＝2．

9．A 点拨：∵x (－1,0)时，x＋1 (0,1)，此时，f(x)＜0， ∴a＞1．

∴f(x)在定义域(－1，＋∞)上是增函数．

10．C 点拨：对于A，因为函数f(x)＝3x为增函数，所以3n＞3m，故A不正确；对于B，通过观察函数的图象，可知logm3＞logn3，故B不正确；对于C，因为函数f(x)＝log4x为增

1

函数，所以log4m＜log4n，故C正确；对于D，因为函数f(x)＝ 为减函数，所以

4

x

1 1

，故D不正确． 4 4

a 1, a

11．B 点拨：由题意知 4 0,

2 a 4 2 a, 2

解得4≤a＜8．故选B．

12．B 点拨：易知f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．所以0＜a＜1．则1＜a＋1＜2．所以f(a＋1)＞f(2)．

13．－1 点拨：由题意，得g(x)＝log2x，

mn

1 1

＝－1． log2

22 2514． 点拨：利用换底公式，化为常用对数进行化简．

12

因此g

15．(0,1) 点拨：由已知得a＝1，不等式f(x)＞1，即1－log2x＞1，即log2x＜0，解得0＜x＜1．

16．c＜a＜b 点拨：此题主要利用函数的单调性比较大小，因为1＜x＜d，所以0＜logdx

2

＜logdd＝1．所以b＝logdx＝2logdx＞logdx·logdx＝a＞0＞logd(logdx)＝c．所以b＞a＞c．

－－

17．解：由a＝(2

1

＝2

得a＋1＝3

(a＋1)2

＝ ．

2

－

同理，(b＋1)2

＝．

242 3 3－－

故(a＋1)2＋(b＋1)2

＝ ． 6 6 363

1 x1 x

lg18．解：(1)∵函数的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg1 x1 x

＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

∴f

2

2

2

2

2

1

2013 1 1

f f

20132013 1

f ＝0． 2013

(2)先探究函数f(x)在区间(0,1)上的单调性．

设x1，x2 (0,1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝

lg

1 x11 x2 1 x11 x21 x1x2 x2 x1

． lg lg lg

1 x11 x21 x1x2 (x2 x1) 1 x11 x2

∵0＜x1＜x2＜1，

∴1－x1x2＋x2－x1＞1－x1x2－(x2－x1)＞0．

1 x1x2 x2 x1

＞1．

1 x1x2 (x2 x1)1 x1x2 x2 x1

∴lg＞0，即f(x1)－f(x2)＞0．

1 x1x2 (x2 x1)

∴

∴f(x)为区间(0,1)上的减函数．

又f(x)为奇函数，∴f(x)在区间(－1,1)上是减函数． 19．解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m N*， ∴m与m＋1中必定有一个为偶数． ∴m2＋m为偶数．

1

∴函数f(x)＝xm m(m N*)的定义域为[0，＋∞)， 并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数． (2)∵函数f(x)经过点(2

，

1

2m m，即2 2m m．

∴m＋m＝2，即m2＋m－2＝0．∴m＝1或m＝－2． 又∵m N*，∴m＝1．

∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．

12

12

1

2

2 a 0，

3

由f(2－a)＞f(a－1)，得 a 1 0，解得1≤a＜．

2 2 a a 1，

故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为 1, ．

20．解：(1)∵由已知可得3a2＝18， ∴3a＝2．∴a＝log32． (2)由(1)知g(x)＝m·3xlog32－4x＝m·3log32x－4x＝m·2x－4x， 设0≤x1＜x2≤1，则2x1＜2x2，即2x1－2x2＜0， ∵函数g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

∴g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(m－2x1－2x2)＞0恒成立，即m－2x1－2x2＜0，m＜2x1＋2x2

恒成立．

∵2x1＋2x2＞20＋20＝2，

∴实数m的取值范围是m≤2．

＋

3 2

1 2x

21．解：由题意，得1＋2＋4a＞0在x (－∞，1]上恒成立，即a＞在x (－∞，x

4

x

x

1]上恒成立．

1 2x 1 1 ∵ x

4 2 2

1 x1 1＝ ， 2 2 4

又∵x (－∞，1]， 1 1

∴ , ．

2 2

x

2

2xx

1

令t ，

2

1 1 1

则f(t)＝ t ，t , ．

2 2 4

1

∵f(t)在 , 上为减函数，

2

2

x

3 1 11 1

∴f(t)≤f ，

4 2 22 4

3

即f(t) , ．

4

∵a＞f(t)， ∴a

2

3 , ． 4

22．解：(1)x的取值需满足2x－1≠0，即x≠0，则函数f(x)的定义域为{x|x R，且x≠0}． (2)∵f(－x)－f(x) ＝ x

1 11 1 x x x

2 12 2 12

2x1 11 ＝ x x x x

1 22 2 12 x 2xxxx

＝

1 2x22x 12x(2x 1)＝－x＝x－x＝0， x

2 1

∴f(－x)＝f(x)．

∴函数f(x)是偶函数．

(3)证明：∵当x＞0时，2x＞1，

1

＞0． 2x 1

1 1

∴x x ＞0．

2 12

∴

此时f(x)＞0．

当x＜0时，－x＞0， 则f(x)＝f(－x)＞0，

即对于x≠0，均有f(x)＞0．