2.2空间向量的运算课件(北师大版选修2-1)

时间：2025-05-01

空间向量及其运算

一、复习 1、平面向量的概念2、平面向量的加减和数乘运算

1.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注意：⑴空间的平移就是一个向量。平移实际就是点到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向量是共面的 ⑵向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2.空间向量的运算结论：空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样

OB OA AB =a+b,

AB OB OA(指向被减向量) OP λa ( R)运算律：⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律：(a b) c a (b c)

( a b ) a b ⑶数乘分配律：

空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即：

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0 . ⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.

D' 例1已知平行六面体 ABCD A' B' C '(如图),化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量

⑴AB BC;⑵AB AD AA';

1 ⑶ AB AD CC ' 2

1 ⑷ ( AB AD AA' ). 3

3.共线向量(平行向量)

(1)概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向

量或平行向量a平行于b,记作a∥b

(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充要条 l 件是存在实数λ ,使a=λ b。 PaA B

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式 OP OA t ① a 其中向量a叫做直线l的方向向量。 OP OA t AB OP (1 t )OA tOB ② ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程

4.共面向量

a (1)概念：已知平面α 与 a 向量，作 OA ,如果直线OA平行于平面α 或在α 内，那么我们说向量平 a a 行于平面α ,记作 ∥α 。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：⑴空间任意两个向量总是共面的； ⑵空间任意三个向量不一定共面； ⑶空间四边形ABCD中 AD AC AB 、、不共面。O A

(2)共面向量定理如果两个向量 a b不共线，则向量、面的充

要条件是，存在实数对x、y,使

与向量、共 p ab

p=x a +y b

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有 MP 序实数对x、y,使 =x MA MB +y OP OM +x +y ① 或对空间任一点O,有 = MB MA平面MAB内，点P对应的实数对(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式。

例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,试问满足向量关系式 +y OP =x OA OB+Z OC(其中x+y+z=1) 的四点P、A、B、C是否共面

例3、已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量 , OE=k OA , OF =k OB ,OG =k OC , OH =k OD 求证： ⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG∥平面AC。O

D A H

C B G

小结：1、空间向量的概念 2、空间向量的运算 3 、共线向量(平行向量)的概念及空间向量共线的充要条件 4、共面向量的概念及向量共面的充要条件

作业1.如图是正方体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，求证：这四个点共面。

.2.如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重 1 心。求证： AG ( AB AC AD) 3D