概率论与数理统计复习题2

1.设A,B为两个随机事件且

213

P(B|A) P(A) ,P(B)

525

,,求P(A B).

2.某工厂向三家出租车公司(D,E,F)租用汽车，20%汽车来自D公司，20%来自E公司，60%来自F公司，而这三家出租公司的车在运输过程中发生故障的概率分别为0.10，0.12，0.04。 (1)该工厂租用汽车发生故障的概率是多少？

(2)若租用汽车发生故障，问该故障汽车来自F公司的概率是多少？

3.设随机变量X的概率密度函数为

axe x

f(x)

0

x 0x 0

, 0已知,

,

求(1) 常数a以及X的分布函数,

P{0 X (2) ,

1

(3) Y 的概率密度函数。 4. .设随机变量X的分布律为

求(1) 常数a

(2) Y X 1的分布律。

5. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

ke (5x 6y),x 0,y 0

f(x,y)

0,其他

2

求：(1)常数k，(2)联合分布函数，(3)边缘概率密度和边缘分布函数， (4)条件概率密度函数，(5)X和Y是

否独立？(6)Z 2X 3Y的概率密度函数。

6. 设随机变量X的分布律为

求

E(X),E(X2),E(3X2

5)

，

D(X),D( 2X 3)

.

7. 设连续型随机变量X的概率密度函数为

求(1) Y 2X,Z e 2X的数学期望,

(2)

D(11

2X 3

)。 f(x)

8. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

求X和Y的协方差Cov(X,Y)和相关系数 XY.

9.假设市场对某种商品的需求量是随机变量X(单位吨)，它服从[2000,4000]的均匀分布。设每售出这种商品一吨，可获利3万元，如果售不出而囤积，则损失1万元。问需要组织多少货源才能获利最大？

10.假设某种型号的灯泡寿命服从参数 100指数分布。现在随机地取16

只，设这些灯泡的寿命相互独立。求这16只灯泡寿命总和大于1920(小时)的概率。

11.某单位有260部电话分机，每部分机平均有4%的时间使用外线，设各分机是否使用外线相互独立。问需要安装多少外线，才能以95%的概率保证用外线时不占线？

12. 设总体服从参数为 (未知)的指数分布，密度函数为

e x

f(x)

0

x 0x 0

, 0

X1,X2,...,Xn为一个样本，试求：

(1) 的矩估计量， (2) 的最大似然估计量，

(3)

1验证

的矩估计量和最大似然估的无偏估计量。

1

计量是否为

13. 设从正态总体X N( 1,25)得到一个容量为10的样本，样本均值为

x 19.8，从正态总体Y N( 2,36)得到一

个容量为12的样本，样本均值为

y 24.0。设两个总体相互独立，求均

值差 1 2的置信度为95%的置信区间。

14. 某厂生产的汽车电池使用寿命服从正态分布，其说明书上写明其标准差不超过0.9年。现在随机抽取10个，得样本标准差为1.2年，试在显著性水平 0.05的条件下检验说明书上的

标准差是否可信。

15. 规定杨树苗平均高达60cm以上才可以出苗圃。某苗圃所育杨树苗中随即抽取50株，测得杨树苗的平均

22

x 59s 64cm高度为cm，均方差。试

问在显著性水平 0.05条件下，这批杨树苗能否出苗圃？ 几类重要分布的期望和方差

布 二k P{ X k} Cn p k (1 p) n k

项 k=0,1,…,n 分 布 泊P{ X k}

E(X)=np D(X)=np(1 -p)

k e k!

松 k=0,1,2…… 分 布 均 匀 分 布 1 f ( x) b a 0

D(X)= E(X)=

x ( a, b) 其他

E(X)=a b 2

D(X)=(b a ) 2 12

数理统计三大分布

X1,X2,...,Xn服从N(0,1)，

1.

解

：

P(

A

)

1)12

n2

。

2.解：设A表示汽车发生故障，

S D E F表示全部汽车。

(1) 由题意可得

P(D) 0.2,P(E) 0.2,P(F) 0.6,

P(A|D) 0.1,P(A|E) 0.12,P(A|F) 0.04,

由全概率公式有

P(A) P(D)P(A|D) P(E)P(A|E) P(F)P(A|F)

0.2 0.1 0.2 0.12 0.

0.02 0.24 0.24

(2) 由贝叶斯公式有

P(AF)P(F)P(A|F)

P(F|A)

P(A)P(A)

3.解：

0. 60.040.24 0 .48

0.50.5

(1)由概率密度函数的性质有

1

f(x)dx axe

x

dx

a

(xe

x

e xdx)

，所以a 。 当x 0时，F(x) 0， 当

x

20

2

x 0

u

时

ux

，

e

0x

u

F(x) ue

du ( uedu) xe

， 所

以

分

布

x 1

函数为

1 xe( x

F(x)

0,

1

1

x 0。

2

(2)P{0 X F( ) F(0) 1 e。

(3)

FY(

当

y 0

y 0

y)

时

， 时

P{

，

当，

FY(y) P{Y y} P y} P{X y} FX(y) FX(0)

22

，所以Y的概率密度函数为

2 ye

fY(y)

0,

2

3 y2

,y 0

y 0。

4. 解：

(1) 由随机变量分布律的性质有

P{X xi} 1

i 1

5

111

，即3a 2 3a a 30 1，

1

从而得a 15。

(2) 随机变量Y的可能取值为3，0，-1，8，且

7

P{Y 0} P{X 1} P{X 1}

30，

1

P{Y 3} P{X 2} ，

5

1

P{Y 1} P{X 0} ，

5

11

P{Y 8} P{X 3} ，

30

故Y X 1的分布律为

2

5.解：

(1) 由二维随机变量概率密度函数的性质有

1

f(x,y)dxdy k

e

(5x 6y)

dxdy k e

5x

dx e 6yd

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