概率论与数理统计复习题2
时间:2025-07-10
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1.设A,B为两个随机事件且
213
P(B|A) P(A) ,P(B)
525
,,求P(A B).
2.某工厂向三家出租车公司(D,E,F)租用汽车,20%汽车来自D公司,20%来自E公司,60%来自F公司,而这三家出租公司的车在运输过程中发生故障的概率分别为0.10,0.12,0.04。 (1)该工厂租用汽车发生故障的概率是多少?
(2)若租用汽车发生故障,问该故障汽车来自F公司的概率是多少?
3.设随机变量X的概率密度函数为
axe x
f(x)
0
x 0x 0
, 0已知,
,
求(1) 常数a以及X的分布函数,
P{0 X (2) ,
1
(3) Y 的概率密度函数。 4. .设随机变量X的分布律为
求(1) 常数a
(2) Y X 1的分布律。
5. 设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
ke (5x 6y),x 0,y 0
f(x,y)
0,其他
2
求:(1)常数k,(2)联合分布函数,(3)边缘概率密度和边缘分布函数, (4)条件概率密度函数,(5)X和Y是
否独立?(6)Z 2X 3Y的概率密度函数。
6. 设随机变量X的分布律为
求
E(X),E(X2),E(3X2
5)
,
D(X),D( 2X 3)
.
7. 设连续型随机变量X的概率密度函数为
求(1) Y 2X,Z e 2X的数学期望,
(2)
D(11
2X 3
)。 f(x)
8. 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求X和Y的协方差Cov(X,Y)和相关系数 XY.
9.假设市场对某种商品的需求量是随机变量X(单位吨),它服从[2000,4000]的均匀分布。设每售出这种商品一吨,可获利3万元,如果售不出而囤积,则损失1万元。问需要组织多少货源才能获利最大?
10.假设某种型号的灯泡寿命服从参数 100指数分布。现在随机地取16
只,设这些灯泡的寿命相互独立。求这16只灯泡寿命总和大于1920(小时)的概率。
11.某单位有260部电话分机,每部分机平均有4%的时间使用外线,设各分机是否使用外线相互独立。问需要安装多少外线,才能以95%的概率保证用外线时不占线?
12. 设总体服从参数为 (未知)的指数分布,密度函数为
e x
f(x)
0
x 0x 0
, 0
X1,X2,...,Xn为一个样本,试求:
(1) 的矩估计量, (2) 的最大似然估计量,
(3)
1验证
的矩估计量和最大似然估的无偏估计量。
1
计量是否为
13. 设从正态总体X N( 1,25)得到一个容量为10的样本,样本均值为
x 19.8,从正态总体Y N( 2,36)得到一
个容量为12的样本,样本均值为
y 24.0。设两个总体相互独立,求均
值差 1 2的置信度为95%的置信区间。
14. 某厂生产的汽车电池使用寿命服从正态分布,其说明书上写明其标准差不超过0.9年。现在随机抽取10个,得样本标准差为1.2年,试在显著性水平 0.05的条件下检验说明书上的
标准差是否可信。
15. 规定杨树苗平均高达60cm以上才可以出苗圃。某苗圃所育杨树苗中随即抽取50株,测得杨树苗的平均
22
x 59s 64cm高度为cm,均方差。试
问在显著性水平 0.05条件下,这批杨树苗能否出苗圃? 几类重要分布的期望和方差
布 二k P{ X k} Cn p k (1 p) n k
项 k=0,1,…,n 分 布 泊P{ X k}
E(X)=np D(X)=np(1 -p)
k e k!
松 k=0,1,2…… 分 布 均 匀 分 布 1 f ( x) b a 0
D(X)= E(X)=
x ( a, b) 其他
E(X)=a b 2
D(X)=(b a ) 2 12
数理统计三大分布
X1,X2,...,Xn服从N(0,1),
1.
解
:
P(
A
)
1)12
n2
。
2.解:设A表示汽车发生故障,
S D E F表示全部汽车。
(1) 由题意可得
P(D) 0.2,P(E) 0.2,P(F) 0.6,
P(A|D) 0.1,P(A|E) 0.12,P(A|F) 0.04,
由全概率公式有
P(A) P(D)P(A|D) P(E)P(A|E) P(F)P(A|F)
0.2 0.1 0.2 0.12 0.
0.02 0.24 0.24
(2) 由贝叶斯公式有
P(AF)P(F)P(A|F)
P(F|A)
P(A)P(A)
3.解:
0. 60.040.24 0 .48
0.50.5
(1)由概率密度函数的性质有
1
f(x)dx axe
x
dx
a
(xe
x
e xdx)
,所以a 。 当x 0时,F(x) 0, 当
x
20
2
x 0
u
时
ux
,
e
0x
u
F(x) ue
du ( uedu) xe
, 所
以
分
布
x 1
函数为
1 xe( x
F(x)
0,
1
1
x 0。
2
(2)P{0 X F( ) F(0) 1 e。
(3)
FY(
当
y 0
y 0
y)
时
, 时
P{
,
当,
FY(y) P{Y y} P y} P{X y} FX(y) FX(0)
22
,所以Y的概率密度函数为
2 ye
fY(y)
0,
2
3 y2
,y 0
y 0。
4. 解:
(1) 由随机变量分布律的性质有
P{X xi} 1
i 1
5
111
,即3a 2 3a a 30 1,
1
从而得a 15。
(2) 随机变量Y的可能取值为3,0,-1,8,且
7
P{Y 0} P{X 1} P{X 1}
30,
1
P{Y 3} P{X 2} ,
5
1
P{Y 1} P{X 0} ,
5
11
P{Y 8} P{X 3} ,
30
故Y X 1的分布律为
2
5.解:
(1) 由二维随机变量概率密度函数的性质有
1
f(x,y)dxdy k
e
(5x 6y)
dxdy k e
5x
dx e 6yd
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