第二章 推理与证明 2.2.2 反证法

温故迎新1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：综合法: 已知条件 结论 分析法: 结论

已知条件

由因导果 执果索因

3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路， 再由综合法书写过程.

路 边 苦 李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩, 看到路边的李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在 原地不动.伙伴问他为什么不去摘？

王戎是怎么知道李子是苦的呢?

他运用了怎样的推理方法?

王戎回答说:“树在道边而多子, 此必苦李.”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.

王戎的推理方法是:

假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,

这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.

引例证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.已知：∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个 不小于60°

已知：∠A, ∠ B, ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A, ∠ B, ∠ C中至少有一个不小于60° 证明： 假设 ABC 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°, 所以∠ A < 60°,∠B < 60°, ∠C < 60°

∴ ∠A+∠B+∠C<180°这与 三角形内角和等于180° 相矛盾.

∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立.先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理， 推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。

这种证明方法就是-----反证法

一、探究定义一般地，假设原命题不成立(即在原命题 的条件下，结论不成立),经过正确的推理， 最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法。

二、探究反证法的证明过程否定结论——推出矛盾——肯定结论 即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。

归缪矛盾： (1)与已知条件矛盾；

(2)与假设矛盾或自相矛盾;(3)与已有公理、定理、定义、事实矛盾.

反证法的思维方法：正难则反

三、典例剖析---类型一： 例1: 已知直线a, b 和平面 ,如果 a , b 且 a // b ,求证: a // . 证明：因为a∥b 证明：因为a∥b,所以经过 直线 a, b确定一个平面 . 因为 a ,而 a a

b

P

所以 与 是两个不同的平面. b . 因为 b , 且b ,所以 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有 公共点.假设直线 a 与平面 有公共点P, 则 P b ,即点P是直线a与b的公共 点,这与 a // b 矛盾,所以 a // .

三、典例剖析---类型二：例2.证明： 2 , 3 , 5 不可能成等差数列证明: 假设 2 , 3 , 5两边平方得:2

能成等差数列，则

2 3 2 5化简得:

两边平方得: 此式显然不成立，所以假设错误

(2 3) ( 2 5) 5 2 10 25 40

2

注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”,“不能表示为……”,“不是……”,“不存 在……” ,“不等于……”,“不具有某种性质” 等) 常用反证法

所以 2, 3, 5 不可能成等差数列

三、典例剖析---类型三：例3 求证： 2 是无理数。证：假设 2是有理数，

∴ m=

m 则存在互质的整数m,n使得 2 = , n 2 2

2n ∴ m = 2n2 2 2

∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k(k∈N )

从而有4k = 2n ,即n = 2k 这与m,n互质矛盾！ ∴n2 也是偶数，所以假设不成立，2是有理数成立。

2

练习： 已知a≠0, 证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1,x2 且x1 ≠ x2 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax 2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 x1 x2 x1 x2 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,故假设不成立，结论成立。 注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”,“只 有一个，“唯一存在”等) 常用反证法。

归纳总结：哪些命题适宜用反证法加以证明？ (1)直接证明有困难 (2)否定性命题 (3)唯一性命题 (4)至多，至少型命题

正难则反!

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”

四、归纳步骤反证法的一般步骤分清条件和结论 先假设命题的结论不成立

从假设出发，经过推理得出矛盾

否定假设肯定原命题

1、写出用“反证法”证明下列命题的 “假 设”.

五、巩固新知:

(1)互补的两个角不能都大于90°.假设互补的两个角都大于90°.

(2)△ ABC 中 , 最多有一个钝角 假设△ABC中,至少有两个钝角(3) “若a2≠ b2,则a ≠ b”假设a=b。