高中数学导数压轴题专题训练

高中数学导数尖子生辅导（填选压轴）

一．选择题（共30小题）

1．（2013 文昌模拟）如图是f（x）=x+bx+cx+d的图象，则x1+x2的值是（ ）

3

2

2

2

2．（2013 乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）

3

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3．（2013 山东）抛物线C1：

的焦点与双曲线C2：

的右焦点的连线交C1于第一象

4．（2013 安徽）已知函数f（x）=x+ax+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2

3

2

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考点： 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断. 专题： 压轴题；导数的综合应用. 2 分析： 由函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值点 x1,x2,可得 f′ (x)=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根，必 2 2 有△ =4a ﹣12b>0.而方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的△ >0,可知此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2.再 1=△ 分别讨论利用平移变换即可解出方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 解得个数. 3 2 解答： 解：∵ 函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2, ′ 2 ∴ f (x)=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根，菁优网版权所有

∴ △ =4a ﹣12b>0.解得

2

=

.

∵ x1<x2,∴2

,

.

而方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的△ >0,∴ 此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2. 1=△ 不妨取 0<x1<x2,f(x1)>0. ① 把 y=f(x)向下平移 x1 个单位即可得到 y=f(x)﹣x1 的图象，∵ f(x1)=x1,可知方程 f(x)=x1 有两解. ② 把 y=f(x)向下平移 x2 个单位即可得到 y=f(x)﹣x2 的图象，∵ f(x1)=x1,∴ f(x1)﹣x2<0,可知方程 f(x)=x2 只有一解. 2 综上① ② 可知：方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2.只有 3 个实数解.即关于 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的只有 3 不同实根. 故选 A.

点评： 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结 合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力. 5. (2013 湖北)已知 a 为常数，函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2) ( A. B. C. D. )

考点： 利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件. 专题： 压轴题；导数的综合应用. 分析： 先求出 f′ (x) ,令 f′ (x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2 函数 g(x)=lnx+1﹣2ax

有且只 有两个零点 g′ (x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0.利用导数与函数极值的关系即可得出. 解答： 解：∵ =lnx+1﹣2ax, (x>0)菁优网版权所有

令 f′ (x)=0,由题意可得 lnx=2ax﹣1 有两个解 x1,x2 函数 g(x)=lnx+1﹣2ax 有且只有两个零点 g′ (x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于 0. .

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6．（2013 辽宁）设函数f（x）满足xf′（x）+2xf（x）=

2

，f（2）=，则x＞0时，f（x）（ ）

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7．（2013 安徽）若函数f（x）=x+ax+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））+2af（x）

322

8．（2014 海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有

2

恒

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9．（2014 重庆三模）对于三次函数f（x）=ax+bx+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f

′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+

=（ ）

3

2

10．（2014 上海二模）已知f（x）=alnx+x（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2

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11．（2012 桂林模拟）已知

在（﹣∞，+∞）上是增函数，则

12．（2012 河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）

2

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13．（2012 桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e+a e

x

﹣x

的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）

的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）

14．（2012 太原模拟）已知定义在R上的函数y=f（x﹣1）的图象关于点（

1，0）对称，且x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，（其中f′（x）是（fx）的导函数），a=（3）（f3），b=（logπ3）．（flogπ3），

0.30.3

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15．（2012 广东模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，且

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16．（2012 无为县模拟）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足

，若有穷数列

（n∈N）的前n项和等于

*

，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）

，，则n等于 （ ）

17．（2012 福建）函数（fx）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有

则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；

2

②f（x）在[1，]上具有性质P； ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]； ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有

[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]

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18．（2013 文昌模拟）设动直线x=m与函数f（x）=x，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为

3

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19．（2011 枣庄二模）设f′（x）是函数f（x）的导函数，有下列命题： ①存在函数f（x），使函数y=f（x）﹣f′（x）为偶函数； ②存在函数f（x）f′（x）≠0，使y=f（x）与y=f′（x）的图象相同； ③存在函数f（x）f′（x）≠0使得y=f（x）与y=f′（x）的图象关于x轴对称．

20．（2011 武昌区模拟）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图

所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（ ）

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21．（2011 雅安三模）下列命题中：①函数，f（x）=sinx+

（x∈（0，π））的最小值是2

+

＞

；②在△ABC中，若

；④如果y=f（x）

sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a + b＞c则

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22．（2011 万州区一模）已知f（x）=2x﹣6x+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上

32

23．（2010 河东区一模）已知定义在R上的函数（fx）是奇函数，且（f2）=0，当x＞0时有

2

，

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24．（2010 惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在

上不是凸函数的是（ ）

25．（2010 黄冈模拟）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则

26．（2010 龙岩二模）已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，f（x）g（x）=a，f（1）g（1）+f（﹣1）g（﹣1）=．在区间[﹣3，0]上随机取一个数x，f（x）g（x）的值介于4到8之间的概率是（ ）

x

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27．（2010 成都一模）已知函数在区间（1，2）内是增函数，则实数m的取值范