数字信号处理课程论文
时间：2025-02-25
中南大学数字信号处理课程论文
数字信号处理 课程论文
题 目：Rouche定理在MP滤波器设计中的应用 姓 名： XXXXXXXX
学 号： 082211044 任课老师： 陶少华教授
学 院： 物理科学与技术学院
完成日期： 2009-5-21
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Rouche定理在MP滤波器设计中的应用
( 中南大学物理科学与技术学院, 湖南 长沙 410083 )
摘 要：本文提出了基于Rouche定理的最小相位有限冲激响应（FIR）滤波器的设计方法，并对Rouche定理进行了详细的分析。滤波器从一种给定的形式直接进行设计，该方法使用余弦滤波器和锐化技术，从而在该滤波器中并不需要使用乘法器。
关键词：Rouche定理 最小相位滤波器 直接设计 余弦滤波器 锐化多项式
1 引言
在许多应用场合中，由于使用线性相位FIR滤波器而导致了比较大的延时，而这样大的延时在一些应用中不允许的，比如数据通信系统。如果在应用中不需要线性相位，我们可以通过设计最小相位滤波器（MP）来减小延时，同时也获得期望的幅频响应。
最小相位的要求限制设计的滤波器的所有零点全在单位圆上或者单位圆内部。
目前已提出了许多从线性相位滤波器设计最小相位滤波器的设计方法，或者基于复倒谱的滤波器设计方法。这些方法可以从相关文献中找到。
并不像许多已知的滤波器设计，本文提出了一种无需使用乘法器的最小相位滤波器的设计方法。除最小相位滤波器是从给定的形式直接设计外，该方法采用了余弦滤波器级联扩展技术和锐化技术。本文组织如下：下一节阐述级联扩展余弦滤波器原理，然后简要介绍锐化技术，在第四节提出基于Rouche定理的最小相位滤波器的设计，并用一个实例加以说明。
2 基于余弦的线性相位滤波器
最简单的低通有限冲激响应滤波器是一个M点移动平均滤波器，众所周知的如梳状滤波器。它的冲击响应为
hcomb(n)
0
for0 n M 1,otherwise
， （1）
相应的系统函数如下所示
11
Hcomb(z) (1 z 1 z (M 1))
MM
其中比例因子M 1k 0
z
k
11 z M
。 （2）
M1 z 1
提供一个0dB的直流增益。这个滤波器不需要任何乘法运算与系数保存。
p
当M是2的幂2时，梳状滤波器的系统函数可以表示为
Hcomb
1 2 2(1 z)(1 z) (1 z)(z)
p 1
， （3）
其中M为整数。
从（2）可知，当M=2可得
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H2(z)
1
(1 z 1) （4） 2
对应的幅频响应为
（5） H2(ejw) cos()。由于滤波器函数为余弦形式，故将这种滤波器称为余弦滤波器。
N阶扩展滤波器通过将N 1个0插入到冲击响应的相邻抽样值之间来实现。在z变换域中，从而每个延时都用N延时来代替
H2(zN)
1
(1 z N)， （6） 2
该滤波器对应的幅频响应为
（7） H2(ejwN) cos()。将K个余弦滤波器级联得到的扩展滤波器的系统函数为
1
（8） Hcos(z) H2(z) (1 Z k)，
k 1k 12
k
KK
该滤波器的所有零点都在单位圆内，也就是说它是一个最小相位滤波器。 此时，相应的幅频响应为
Hcos(e)
jw
H(e
2
k 1
K
jwk
)
（9） cos()。
k 1
K
不同的级联扩展余弦滤波器都具有如图1a所示的低通幅频特征，该图中级联系数K 5。
为了改善其衰减效果，我们可以将L个式（8）中的滤波器级联起来，如图1b所示（其中L 3）。图1c描述的零-极点图证明公式（8）滤波器是一个最小相位滤波器。
但是，式（8）中滤波器的幅频响应具有快的通带衰减和慢的旁瓣衰落。为了进一步改善其幅频特性，我们将使用锐化技术。下面简要介绍一下锐化技术的原理。
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图1 K
5时级联余弦滤波器.（a）L 1，（b）L 3，（c）z平面图
3 锐化技术
为了改善公式（8）中滤波器的幅频响应特性，我们提出使用锐化技术。该技术使用幅度转化函数（ACF），可以用来同时改善线性相位FIR滤波器的通带和阻带特性。幅度转化函数Hsh是一个由相关滤波器函数原型H组成的多项式，Hsh f(H)。
在这里我们考虑一个简单的锐化多项式
（10）
Hsh(z) 3H2(z) 2H3(z) ，
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在上面多项式中，我们使用L级式（8）滤波器级联作为滤波器H。结果得到锐化后的滤波器是一个线性相位滤波器HLP(z)
2L (N
HLP(z) Hcos(z)3z
1)L/2
L
2H(z )cos
L2
Hc)B， ( z ) （11） os(zLP
L
式中N表示级联余弦滤波器Hcos(z)的长度，且令
L
（12） BLP(z) 3z (N 1)L/2 2Hcos(z)。
由于引入了延时z
(N 1)L/2
，因子BLP(z)具有线性相位。锐化后的滤波器的幅频响应特性由
图1b变为图2所示。
图2 锐化滤波器
为了使滤波器具有得最小相位，我们提出将式（12）改为如下：
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