郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数 学（试卷一）一、填空题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） (1) lim cot x(x ®01 1 - )= sin x x.【答】 应填 1 / 6. 【解】 原式 = lim[cos x ×x ®0 1 2 x - sin x x - sin x 1 - cos x 1 2 x ] = lim = lim = lim = . 3 2 2 2 x ®0 x ®0 x ®0 6 x x sin x 3x 6 x(2) 曲面 z - e z + 2 xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 【答】 应填 2 x + y - 4 = 0..【解】 记 F ( x, y, z) = z - ez + 2 xy - 3 ，则 Fx¢(1, 2, 0) = 4 ， Fy¢(1, 2, 0) = 2 ， Fz¢(1, 2, 0) = 0 于是过点 (1,2,0) 的切平面方程为 4( x - 1) + 2( y - 2) = 0 ，即 2 x + y - 4 = 0. (3) 设 u = e - x sinx ¶ 2u 1 . ，则 在 (2, ) 点处的值为 y ¶x¶y p p 2 【答】 应填 ( ) . e ¶u x x 1 1 x x 【解】 因 = -e- x sin + e - x cos × = e- x ( cos - sin ) ，故 ¶x y y y y y y ¶ 2u 1 x 1 x x x x = e- x [- 2 cos - sin × (- 2 ) - cos × (- 2 )] ，于是 ¶x¶y y y y y y y y ¶ 2u ¶x¶y1 (2, ) pp = e-2 (-p 2 cos 2p + 2p 3 sin 2p + 2p 2 cos 2p ) = ( )2 . e2 2 2 (4) 设区域 D 为 x + y £ R ，则òò (Dx2 y2 + ) dxdy = a2 b2.1 1 4 1 【答】 应填 p R ( 2 + 2 ). 4 a b【解】 因 D 关于直线 y = x 对称，故 òò (Dx2 y2 + ) dxdy = a2 b22 2òò (Dy2 x2 + ) dxdy ，于是 a2 b2òò ( aDx2 2+y 1 x y y x )dxdy = [ òò ( 2 + 2 )dxdy + òò ( 2 + 2 )dxdy ] 2 b 2 D a b a b D1994 年 第 1 页222

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考R 1 1 1 1 1 1 2p 1 1 1 = × ( 2 + 2 ) òò ( x 2 + y 2 )dxdy = ( 2 + 2 ) ò dq ò r 2 × rdr = p R 4 ( 2 + 2 ). 0 2 a b D 2 a b 0 4 a b 1 1 设 A = a¢ b ， 其中 a ' 是 a 的转置， 则 An = (5) 已知 a = (1,2,3) ，b = (1, , ) ， 2 3 é1 1/ 2 1/ 3 ù ê 【答】 应填 2 1 2 / 3ú ê ú. ê3 3 / 2 1 û ú ë.【解】 由 a = (1,2,3) ， b = (1,1 1 , ) ，知 ba ¢ = 3 ，于是有 2 3 An = (a ¢b )(a ¢b )L (a ¢b ) = a ¢( ba ¢)( ba ¢)L ( ba ¢) b = ( ba ¢) n-1 × a ¢b æ1ö é1 1/ 2 1/ 3 ù 1 1 n -1 ç ÷ n -1 ê = 3 ç 2 ÷ (1 ) = 3 ê2 1 2 / 3ú ú. 2 3 ç 3÷ ê è ø ë3 3 / 2 1 ú û二、选择题： （本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）p 2 p 2 p p sin x 4 3 4 2 3 4 2 cos xdx , N (sin x cos x ) dx , P = + = ò-p2 ò-2p2 ( x sin x - cos x)dx, 1 + x2(1) 设 M =ò则有 (A) N < P < M 【答】 应选 (D) .(B) M < P < N(C) N < M < P(D) P < M < N【解】 根据奇函数和偶函数在关于原点的对称区间上定积分的性质，知 于是有 P < M < N ， M = 0 ，N = ò 2p cos 4 xdx > 0 ，P = - ò 2p cos 4 xdx < 0 ， 故选 (D) .2 2pp(2) 二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处两个偏导数 f x¢ ( x0 , y 0 ) , f y¢ ( x0 , y 0 ) 存在，是 f ( x, y ) 在 该点连续的 (A) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 【答】 应选 (D) . (B) 必要条件而非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件ì xy 2 2 ï x2 + y 2 , x + y ¹ 0 【解】 取 f ( x, y) = í ，易见 f x¢(0, 0), f y¢(0,0) 存在，但 f ( x, y ) 在 2 2 ï0, x +y =0 î (0, 0) 不连续，因而偏导数存在不是 f ( x, y ) 连续的的充分条件； 又取 f ( x, y ) = x + y ，易见 f ( x, y ) 在点 ( 0, 0 ) 处连续，但 f x¢(0, 0) 与 f y¢(0,0) 都不存在，因而偏导数存在不是 f ( x, y ) 连续的必要条件，故选 (D) .1994 年 第 2 页

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1994 年数学试题详解及评分参考(3) 设常数 l >0，且级数 (A) 发散 【答】 应选 (C) . 【解】 因 ( -1) ×n ¥åan =1¥2 n收敛，则级数 å (-1) n ×n =1¥| an |(B) 条件收敛n2 + l (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 l 有关| an | n2 + l=¥ 1 2 1 1 2 1 2 £ (an + 2 ) £ (an + 2 ) ，而级数 å an 与 2 2 n + l 2 n n =1 n +l| an |¥ 1 | an | 均收敛 ， 所以 绝对收敛. 故选 (C) . (-1) n × å å 2 n =1 n n =1 n2 + l a tan x + b(1 - cos x) (4) 设 lim = 2 ，其中 a 2 + c 2 ¹ 0 ，则必有 - x2 x ®0 c ln(1 - 2 x) + d (1 - e ) (A) b = 4d (B) b = -4d (C) a = 4c (D) a = -4c【答】 应选 (D) . 【解】 由 limx ®0a tan x + b(1 - cos x) c ln(1 - 2 x) + d (1 - e - x )2= lima sec 2 x + b sin x a = - = 2 ，知 a = -4c ， 2 x ® 0 -2c 2c + 2 xde - x 1 - 2x故选 (D) . (5) 已知向量组 a1 , a 2 , a 3 , a 4 线性无关，则向量组 (A) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 + a 4 , a 4 + a1 线性无关 (B) a1 - a 2 , a 2 - a 3 , a 3 - a 4 , a 4 - a1 线性无关 (C) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 + a 4 , a 4 - a1 线性无关 (D) a1 + a 2 , a 2 + a 3 , a 3 - a 4 , a 4 - a1 线性无关 【答】 应选 (C) . 【解】 由于对选项(A)，有 (a 1 + a 2 ) - (a 2 + a 3 ) + (a 3 + a 4 ) - (a 4 + a 1 ) = 0 ； 对选项(B)，有 (a 1 - a 2 ) + (a 2 - a 3 ) + (a 3 - a 4 ) + (a 4 - a 1 ) = 0 ； 对选项(D)，有 (a 1 + a 2 ) - (a 2 + a 3 ) + (a 3 - a 4 ) + (a 4 - a 1 ) = 0 ； 因此选项(A)、 (B)、 (D)中给出的 4 个向量均线性相关，故选 (C) . 三、 （本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分）2 ì p dy d 2 y ï x = cos( t ) t2 (1) 设 í ， 求 , 2 在t = 的值. 2 1 y = t cos(t ) - ò 2 u cosudu , dx 2 dx ï 1 î dx dy 解：因 = -2t sin(t 2 ), = -2t 2 sin ( t 2 ) , dt dt……2 分1994 年 第 3 页

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