高中数学必修2人教A教案4.2.1直线与圆的位置关系

4.2.1 直线与圆的位置关系

（一）教学目标1．知识与技能

（1）理解直线与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.（二）过程与方法

设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心(

DE

, )22

到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；3．情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点、难点

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.难点：用坐标法判定直线与圆的位置关系.

1

2

3

例1 已知圆的方程x2 + y2 = 2，直线y = x + b，当b为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点.

解法1：圆心O (，0)到直线y = x + b的距离为d ，圆的半径r （1）当d＜r，即–2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当d = r，即b= 2时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当d＞r，即b＞2或b＜–2时，直线与圆相离， 无公共点.

x2 y2 2

解法2：联立两个方程得方程组 .消去y2得

y x b

2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0， =16 – 4b2.

（1）当 ＞0，即–2 ＜b＜2时，直线与圆有两个公共点；

4

（2）当 ＝0，即b 2时，直线与圆有一个公共点； （3）当 ＜0即b＞2或b＜–2时，直线与圆无公共点.

例2 直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25相交，截得弦长l

为m的方程.

【解析】设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径r = 5

，弦长的一半所以由勾股定理，得：d ， 所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即kx – y + 5 – 5k = 0.

1 ，得k 或k = 2.

2所以直线m的方程为x – 2y + 5 = 0或2x – y – 5 = 0.

例3 已知圆C：x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为1的直线l， 使l被圆C截得弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点.

【解析】假设存在且设l为：y = x + m，圆C化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9，圆心C (1，–2).

y x mm 1m 1

解方程组 得AB的中点N的坐标N( ,)，

y 2 (x 1)22

由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN| = |ON|.

又|AN| |ON| ，

l

2

(3 m2)(m 1)m 12

所以9 ()

222

解得m = 1或m = –4.

所以存在直线l，方程为x – y + 1 = 0和x – y – 4 = 0， 并可以检验，这时l与圆是相交于两点的.

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