高考数学导数专题复习

时间:2025-04-02

高考数学导数专题复习

数学专题复习:导数

一、导数的定义及运用 f(x)=lim

f(x x) f(x)

x

x x

等于 ( )

例1.设函数f(x)在x0处可导,则lim

f(x0 x) f(x0)

x

x 0

A.f'(x0) B.f'( x0) C. f'( x0) D. f( x0) 二、导数与切线: y=f(x)上一点M(x0,y0)处的切线

(1)斜率k=f/(x0) (2) y0=f(x0) (3) M(x0,y0)在切线上

例2.(理)设f(x) x

1x

,则它与x轴交点处的切线的方程为______________。

12

x 1垂

(文)P是抛物线y x2上的点,若过点P的切线方程与直线y 直,则过P点处的切线方程是____________。 三、导数与单调性、极值

(1).k=f (x)>0对应的区间为f(x)的单调增区间; (2).k=f (x)<0对应的区间为f(x)的单调减区间; (3).k=f (x)=0解得的x=x0可能是极值

例3.((理)函数y=x-sinx,x , 的最大值是( C )

2 A. -1 B.

2

-1 C. D. +1

(文). y x3 ax a为R上为增函数,则a的取值范围为_________ a [0, ) 例4.f(x)=x3 3x2 3x 2是否有极值?

例5.已知函数y f(x),其导函数y f (x)的图象如右图,则y f(x):( C )

A.在(- ,0)上为减函数 B.在x=0处取得最大值

C.在(4,+ )上为减函数 D.在x=2处取得最小值

[思路分析]:由导函数的性质知,f (x) 0,f(x)递增,f (x) 0,f(x)递减。从图像上知,当x>4时,f (x) 0,∴f(x)在(4,+ )上递减。

[命题分析]:考查导数的性质,函数的极值与最值,及观察图像的能力

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例6.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )

A.1个

B.2个 C.3个 D. 4个

四.含参数的导数问题 (一).利用极值时f (x0) 0及(2)

y0=f(x0)往往可以求出参数

例7.已知函数f(x) ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5,其导函数y f'(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.求:

(Ⅰ)x0的值; (Ⅱ)a,b,c的值.

(Ⅰ)x0=1; (Ⅱ)a 2,b 9,c 12.

例8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-

23

与x=1时

都取得极值

(1) 求a、b的值与函数f(x)的单调区间 (2) 若对x 〔-1,2〕,不等式f(x) c2恒成立,求c的取值范围。

解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f (x)=3x2+2ax+b

由f (-a=-

1223

)=

129

43

a+b=0,f (1)=3+2a+b=0得

,b=-2

f

2 23

)与(1,+ )

所以函数f(x)的递增区间是(- ,-递减区间是(-,1)

32

(2)f(x)=x3-x2-2x+c,

x 〔-1,2〕,当x=-

2

123

时,

f(x)=

2227

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+c

为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值。 要使f(x) c2(x 〔-1,2〕)恒成立,只需c2 f(2)=2+c 解得c -1或c 2

(二).根据单调性求参数范围或分类讨论参数来判断单调 区间或极值

例9. 已知函数 y=x3+ax2+bx 在[0,2]上为单调递增,在[2,3]上单调递减,b的范围_____________

例10.已知函数f x 4x3 3x2cos

0 2

316cos

,其中x R, 为参数,且

(1)当时cos 0,判断函数f x 是否有极值;

(2)要使函数f x 的极小值大于零,求参数 的取值范围; 无极值;(,) (

6

2

3 11 ,) 26

例11. 已知向量a (x2,x 1),b (1 x,t),若函数f(x) a b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.

解:依定义f(x) x2(1 x) t(x 1) x3 x2 tx t,

2

则f (x) 3x 2x t.

若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.

22

f (x) 0 t 3x 2x,在区间( 1,1)上恒成立,考虑函数g(x) 3x 2x,

故要使t 3x2 2x在区间(-1,1)上恒成立 t g( 1),即t 5. (三)导论极值及根的存在情况 3

例12.(1)求函数y=x-3ax+2(a>0) 的极值.

3

(2)研究方程x-3ax+2=0 (a>0)

何时有三个不同的实根?何时有唯一的根

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练习题:

1.函数f(x)=x4-x 在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为( D ) A. (1,3) B. (1,-3) C. ,

2 1

7

16

D.(1,0)

2.(理)函数f(x)=x-ex在点P处的切线平行于x轴,则点P的坐标为( D ) A. (1.1-e) B.(1,e) C.(0,e) D.(0,-1)

3.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围是(C) A.a 2或a 1 B. 1 a 2 C.a>2或a<-1 D.a 1 4.已知y

13

x bx (b 2)x 3是

3

2

R上的单调增函数,则b的取值范围是(D)

A.b<-1或b>2 B. b 2或b 2 C.-1<b<2 D. 1 b 2

5.f(x)=|3x-x3|在[-2,2]上的最大值是 .

6.设函数y f(x)在定义域内的导函数为y f (x),y f(x)的图象如图1所示,则y f (x)的图象可能为 ( )

7.设函数f(x) (1 x)2 ln(1 x)2. (1) 求f(x)的单调区间;

(2) 若当x [ 1,e 1]时,不等式f(x) m恒成立,求实数m的取值范围;

e1

7

(

,

1

1)函

1x 1

数的

2x(x 2)x 1

定.

义域为

) 2[(x .f (x 1) ]

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由f (x) 0得 2 x 1或x 0.由f (x) 0得x 2或 1 x 0. 故增区间为( 2, 1),(0, ),减区间为( , 2),( 1,0). …… 此处隐藏:3519字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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