高考数学导数专题复习

数学专题复习：导数

一、导数的定义及运用 f(x)=lim

f(x x) f(x)

x

x x

等于 （ ）

例1．设函数f(x)在x0处可导，则lim

f(x0 x) f(x0)

x

x 0

A．f'(x0) B．f'( x0) C． f'( x0) D． f( x0) 二、导数与切线： y=f(x)上一点M（x0,y0）处的切线

（1）斜率k=f/(x0) (2) y0=f(x0) (3) M（x0,y0）在切线上

例2．（理）设f(x) x

1x

，则它与x轴交点处的切线的方程为______________。

12

x 1垂

（文）P是抛物线y x2上的点，若过点P的切线方程与直线y 直，则过P点处的切线方程是____________。 三、导数与单调性、极值

(1).k=f (x)>0对应的区间为f(x)的单调增区间； （2）.k=f (x)<0对应的区间为f(x)的单调减区间； (3).k=f (x)=0解得的x=x0可能是极值

例3．((理)函数y=x-sinx,x , 的最大值是( C )

2 A. -1 B.

2

-1 C. D. +1

(文). y x3 ax a为R上为增函数,则a的取值范围为_________ a [0, ) 例4.f(x)=x3 3x2 3x 2是否有极值?

例5．已知函数y f(x)，其导函数y f (x)的图象如右图，则y f(x)：( C )

A．在(- ，0)上为减函数 B．在x=0处取得最大值

C．在（4，+ ）上为减函数 D．在x=2处取得最小值

[思路分析]：由导函数的性质知，f (x) 0,f(x)递增，f (x) 0,f(x)递减。从图像上知，当x>4时，f (x) 0，∴f(x)在（4，+ ）上递减。

[命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力

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例6．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ A ）

A．1个

B．2个 C．3个 D． 4个

四.含参数的导数问题 (一).利用极值时f (x0) 0及(2)

y0=f(x0)往往可以求出参数

例7.已知函数f(x) ax3 bx2 cx在点x0处取得极大值5，其导函数y f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）x0的值； （Ⅱ）a,b,c的值.

（Ⅰ）x0=1; （Ⅱ）a 2,b 9,c 12.

例8.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－

23

与x＝1时

都取得极值

（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2） 若对x 〔－1，2〕，不等式f（x） c2恒成立，求c的取值范围。

解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f （x）＝3x2＋2ax＋b

由f （－a＝－

1223

）＝

129

－

43

a＋b＝0，f （1）＝3＋2a＋b＝0得

，b＝－2

f

2 23

）与（1，＋ ）

所以函数f（x）的递增区间是（－ ，－递减区间是（－，1）

32

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，

x 〔－1，2〕，当x＝－

2

123

时，

f（x）＝

2227

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＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x） c2（x 〔－1，2〕）恒成立，只需c2 f（2）＝2＋c 解得c －1或c 2

(二).根据单调性求参数范围或分类讨论参数来判断单调 区间或极值

例9. 已知函数 y=x3+ax2+bx 在[0，2]上为单调递增，在[2，3]上单调递减，b的范围_____________

例10．已知函数f x 4x3 3x2cos

0 2

316cos

，其中x R, 为参数，且

．

（1）当时cos 0，判断函数f x 是否有极值；

（2）要使函数f x 的极小值大于零，求参数 的取值范围； 无极值；(,) (

6

2

3 11 ,) 26

例11. 已知向量a (x2,x 1),b (1 x,t),若函数f(x) a b在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

解：依定义f(x) x2(1 x) t(x 1) x3 x2 tx t,

2

则f (x) 3x 2x t.

若f(x)在( 1,1)上是增函数,则在( 1,1)上可设f (x) 0.

22

f (x) 0 t 3x 2x,在区间( 1,1)上恒成立,考虑函数g(x) 3x 2x,

故要使t 3x2 2x在区间（－1，1）上恒成立 t g( 1),即t 5. (三)导论极值及根的存在情况 3

例12.（1）求函数y=x-3ax+2(a>0) 的极值.

3

（2）研究方程x-3ax+2=0 (a>0)

何时有三个不同的实根？何时有唯一的根

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练习题：

1．函数f(x)=x4-x 在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为（ D ） A. (1,3) B. (1,-3) C. ,

2 1

7

16

D.(1,0)

2.(理)函数f(x)=x-ex在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为（ D ） A. (1.1-e) B.(1,e) C.(0,e) D.(0,-1)

3.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是（C） A.a 2或a 1 B. 1 a 2 C.a>2或a<-1 D.a 1 4.已知y

13

x bx (b 2)x 3是

3

2

R上的单调增函数，则b的取值范围是（D）

A.b<-1或b>2 B. b 2或b 2 C.-1<b<2 D. 1 b 2

5．f(x)=|3x－x3|在[－2，2]上的最大值是 .

6．设函数y f(x)在定义域内的导函数为y f (x)，y f(x)的图象如图1所示，则y f (x)的图象可能为 （ ）

7．设函数f(x) (1 x)2 ln(1 x)2． （1） 求f(x)的单调区间；

（2） 若当x [ 1,e 1]时，不等式f(x) m恒成立，求实数m的取值范围；

e1

7

(

．

,

（

1

1）函

1x 1

数的

2x(x 2)x 1

定．

义域为

) 2[(x ．f (x 1) ]

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由f (x) 0得 2 x 1或x 0．由f (x) 0得x 2或 1 x 0． 故增区间为( 2, 1)，(0, )，减区间为( , 2)，( 1,0)．

（2）由f (x) 0得x 0或x 2．由（1）知f(x)在[ 1,0]上递减，在

e

[0,e 1]x [

1e

1

上递增．∵f( 1)

e

2

11e

2

2,f(e 1) e 2

2

，且e2 2

1e

2

2

，∴

1e, 1时，][f(x)]max e 2

13x

3

．故m e2 2时，不等式f(x) m恒成立．

8．设函数f(x)

12

222

(3a 1)x [2a f (2a)]x (a 2a 3).

（1）用a表示f (2a)；

（2）若f(x)的图象上有两条与y轴垂直的切线，求实数a的取值范围； （3）当a=2时，求f(x)在[0，3]上的最大值与小值. 8．解：（1）f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－f′(2a)

则f′(2a)=4a2－6a2+2a+2a2－f′(2a) 得f′(2a)=a （2）由（1）得f′(x)=x2－(3a－1)x+2a2－a

由题可知x2－(3a－1)x+2a2－a=0有两个不相等的实数根 △=(3a－1)2－4(2a2－a)=(a－1)2>0 a≠1 （3）a=2 f(x)= x2=3

29313

x3－

52

x+6x+5 f′(x)=(x－2)(x－3) f′(x)=0 x1=2 2

∴fmax(x)=f(2)=

9．设函数f(x)＝

a3

3

fmix(x)=f(0)=5

2

x bx 4cx d

的图象关于原点对称,且f(x)的图象在点P

（1,m）处的切线的斜率为－6,且当x＝2时,f(x)有极值. （1） 求a,b,c,d的值； （2） 若x1,x2∈［－1,1］时,求证：｜f(x1)－f(x2)｜≤9．解：（1）∵y ∴

f(x)的图象关于原点对称,

a3

3

x 4cx,f (x) ax

2

443

.

f( x) f(x)得b d 0,∴f(x) 4c,

∴a 4c 6,4a 4c 0,解得a 2,c 2,∴（2）由（1）

f(x)

23

x

2

8x,

∴a 2,c 2,b d 0.

2

f (x) 2x 8 2(x 2)(x 2),

∴当－1≤x≤1时,f (x) 0,

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∴函数f(x)在［－1,1］上是减函数,∴f(－1)≥即 22≤

3

f(x1)≥f(1),

f(x1)≤

223

,∴｜

f(x1)｜≤

443

223

,同理｜

f(x2)

｜≤22,

3

∴｜f(x1) f(x2｜) |f(x1)| |f(x2)|≤

得证.

10．已知f(x) x2 1,g(x) x4 2x2 2且F(x) g(x) f(x),试问：是否存在实数 ,使F(x)在( , 1)上是减函数,且在（－1,0）上是增函数. 10．解：假设存在实数 满足题设.

F(x) g(x) f(x) (x 2x 2) (x 1) x ( 2)x (2 )F'(x) 4x 2( 2)x,令4x 2( 2)x 0,若 2,则

3

3

4

2

2

4

2

,

x＝0.

当x∈（－∞,0）时,F'(x) 0;当x∈（0,＋∞）时,F'(x) 0;

∴F(x)在(－∞,0)上单调增递减,在（0,＋∞）上单调递增,显然不符合题设.

若 2,则x＝0

或x

2

2

,

当x ( ,

2

时,F'(x) 0.

当x ( 0)时,F'(x)

0;当x (0,

2

时,F'(x) 0;

当x 2

∞)时,F'(x) 0.

∴F(x

)的单调增区间是(

2

2

,0)，(

2

＋∞）,

单调减区间是( ,

(0,

2

要使F(x)在( , 1)上是减函数,且在（－1,0）上是增函数,

则 即 4.

2

1,

故存在实数 4,使F（x）在（－∞,－1）上是减函数,且在（－1,0）上是增函数.

11．已知函数f(x) 2x3 6x2，

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（1）求曲线y f(x)的平行于直线18x y 3的切线方程；

（2）若函数y f(x) m在 2,2 上有最大值3，求常数m的值及此此函

数的最小值。 （1）f(x) 6x2 12x 6x(x 2) （1分）设所求切线的切点为P(x0,y0)，则其斜率为k 6x02 12x0 18 （2分） x0 3或x0 1 （3分）

当x0 3时切点为(3,0)， 切线方程为y 18x 54,当x0 1时切点为( 1, 8)，

切线方程为y 8 18(x 1)即y 18x 10 （5分）

（2）函数y f(x) m的导数为f(x) 6x2 12x 6x2 12x 6x(x 2) （6分）令f(x) 0有x 0或x 2 （7分） f(x)的符号和f(x)的单调性和极值如下表：

由此可知ymax f(0) m m,故m 3，当x 2时y f(x) m取最小的值

m 40 37 （12分）

12．已知当x≥1时，不等式xlnx≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围. 解：设f(x) xlnx k(x 1),x 1, .当x (1, )时,f (x) lnx 1 k. （i）当k≤1时，f (x) 0,函数f(x)在 1, 单调递增.

因为f (1) = 0，所以当x≥1时，f (x)≥0，即x lnx≥k (x－1) （ii）当k＞1时，由f′(x) = 0，得lnx = k－1，即x = ek－1.

当x (1,ek 1)时,f (x) 0,f(x)单调递减,且f(1) 0,则1 x ek 1时，f (x)<0， 即xlnx k(x 1)，不合题意.综上所述，k的取值范围是 ,1 .

13．已知函数f(x) x，g(x) ln(1 x)，h(x) （1）证明：当x 0时，恒有f(x) g(x);

x1 x

.

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（2）当x 0时，不等式g(x)

kxk x

(k 0)恒成立，求实数k的取值范围;

解：（1）设F(x) f(x) g(x)，则F'(x)=1

11 x

x1 x

，……2分

当x 0时，F'(x) 0，所以函数F(x)在（0， )单调递增，又F(x) 在x 0处连续，所以F(x) F(0) 0，即f(x) g(x) 0， 所以f(x) g(x)。……4分 （2）设G(x) g(x) 则G(x)在（0， )恒大于0，G(x) ln(1 x) k

11 x

2

kxk x

， ，

k

2

k x

G'(x)

2

k

2

2

(k x)

x (2k k)x(1 x)(k x)

2

22

，……6分

x (2k k)x 0的根为0和k2 2k,

即在区间（0， )上，G'(x) 0的根为0和k2 2k, 若k2 2k 0，则G(x)在(0,k2 2k)单调递减， 且G(0) 0，与G(x)在（0， ) 恒大于0矛盾； 若k2 2k 0，G(x)在（0， )单调递增，

且G(0) 0，满足题设条件，所以k2 2k 0，所以0 k 2.……