大连交通大学理论力学第三章

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第三章

力矩与平面力偶理论

§3–1 力对点之矩§3–2 力偶与力偶矩

§3–3 力偶的等效§3–4 平面力偶系的合成与平衡

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§3-1 力对点之矩力对物体作用 移动—力的三要素

转动— ?

力对点之矩

A

一 力对点之矩 1 定义：力使物体绕某定点产生转动 效应的度量

FB O

d3

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一 力对点之矩 力矩三要素：大小 A 平面中代数量表示力与矩心所构成平面的方位

转向作用面

FB O

力臂

2 表示： MO (F ) F d矩心

d

3 正负规定：

+

-

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说明： ①力矩必须与矩心相对应，矩心选择无限制 ② M O ( F ) = 2S⊿AOB = Fd

二 力矩的性质 1 力矩取决于力F的大小，也取决于矩心的位置； 2 力矩不因力沿其作用线移动改变； 3 力矩为零：力F=0或力F过矩心；

4 互成平衡的两力对同一点的矩的代数和为零。5

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三 合力矩定理

力矩性质之一

平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于所有各分力 对同一点之矩的代数和。 n M O ( FR ) M O ( Fi )i 1

[证] 由合力投影定理有

FR

od=ob+oc 又∵ M o (F1 ) 2 oAB oA ob M o (F2 ) 2 oAC oA oc Mo (FR ) 2 oAD oA od 故M o (FR ) M o (F1 ) M o (F2 )证毕6

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力矩与合力矩的解析表达式

M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx M O FR M O Fi

M O FR xi Fiy yi Fix

Fy

Fx

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MO (F ) 和 M o (Q) [例1] 已知：如图 F、Q、l, 求：解：①应用力矩定义

l M O (F ) F d F sin Mo (Q) Q l②应用合力矩定理

M O ( F ) Fx l Fy lctg F sin l F cos lctg Mo (Q) Q l8

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[例2] 支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,

30 ,求：力F 对A、B、C三点之矩。解：1)由定义求对A、C点之矩

dAA

dC C

F FY

M A ( F ) Fd A F AD sin 30

FXD

22 5N m M C ( F ) FdC F CD sin 30 7 5N m M B ( F ) Fx AB Fy AD

B

2)由合力矩定理 求对B点的矩

F cos30 AB F sin 30 AD 48.48N m9

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§3-2 力偶与力偶矩一 力偶 1 实例：方向盘、水龙头、钥匙、丝锥 2 定义:

一对等值、反向、作用线相互平行的力

' 3 表示: F , F4 相关概念： 力偶作用面 力偶臂

研究力偶对物体的作用效应？如何度量？

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二 力偶矩1 定义：力偶对物体的转动效应的度量。 力偶矩三要素： 大小 方向 作用面 平面问题力偶作用面方位

' 2 表示：M F , F Fd3 正负规

定：逆正顺负

+

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三 平面力偶性质 性质1:力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。 力偶只能与力偶平衡 力 力偶

性质2:力偶对其所在平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与 矩心的位置无关。 力偶对物体的效应用力偶矩来度量

F d x1 F x1 Fd力矩 力偶矩 M

M O1

F , F M O1 F M O1 F

MO F

12

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§3-3 力偶的等效一 平面力偶等效定理 性质之一

作用在同一平面内的两个力偶，只要二者力偶矩 大小 相等， 则该两个力偶等效。 转向

二 推论1(只要保持力偶矩不变),力偶可以在其作用面内任意移

动，而不影响它对刚体的作用效应。2 (只要保持力偶矩不变),可以任意改变力偶中力的大 小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。13

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=

=

=

=14

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F=3N

d=6m

d=2m

F=9N

M=18Nm

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§3-4 平面力偶系的合成与平衡一 平面力偶系：作用在同一平面的许多力偶

二 平面力偶系合成 1 两个力偶FRB

dFRA

d

M1 F 1d1

M1 P 1dM 2 P2 d

M 2 F2 d 2

' FRA P P 1 2 ' FRB P 1 P 216

' ' 合力偶矩 M FRA d ( P P ) d P d P 1 2 1 2 d M1 M 2

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2 n个力偶

M M1 M 2 M n M ii 1

n

平面力偶系合成为一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。 三 平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件:所有各力偶矩的代数和等于零。

Mi 1

n

i

0

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[例1] 求图示简支梁的支座反力。

A

m2 m1l

m3

B

A

m2 m1 FA

m3

B FB

解：1 研究对象梁，受力如图 2 列平衡方程求解

力偶只能与力偶平衡的性质， 力FA与力FB组成一力偶。

M 0解得： FA

FAl m1 m2 m3 0方向看符号18