第十四讲 面积问题

我们已经学过的面积公式有： (1)S三角形

1

aha（其中ha表示a边上的高） 2

(2)S平行四边形=ah（其中h表示a边上的高）． (3)S梯形

1

(a b)h（其中a，b表示梯形中，两条平行边的长，h表示平行边之间的距离）． 2

由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础．

等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形．

等积变形是指保持面积不变的多边形的变形．

三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实： (1)等底等高的两个三角形面积相等．

(2)两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比． (3)两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比． (4)两个等高三角形面积之比等于它们的底之比．

例1 已知△ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha=4，hb=5，hc=3． 求a∶b∶c．

说明 同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比． 例2 如图1－51，

ABCD的面积为64平方厘米(cm)，E，F分别为AB，AD的中点，求△CEF的面积．

2

说明 (1) E，F是所在边的中点启发我们添加辅助线BD，DE．

(2)平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等，从而这两个三角形的底、高相等获知的．