湖北省黄冈中学高考数学 典型例题27 求空间的角

高考数学典型例题详解

求空间的角

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.

●难点磁场

(★★★★★)如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在

l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.

(1) 求证：MN分别与α、β所成角相等； (2) 求MN与β所成角

.

●案例探究

［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点

.

(1)求证：四边形B′EDF是菱形； (2)求直线A′C与DE所成的角； (3)求直线AD与平面B′EDF所成的角； (4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.

命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，

属★★★★★级题目.

知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角. 错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.

技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.

(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG

∴B′E∥A′G,又A′F

5

a,下证B′、E、D、F2

ABA′B′知，B′EGA′是平行四边形.

DG,∴A′GDF为平行四边形.

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面 故四边形B′EDF是菱形.

(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角. 在△A′CP中，易得A′C=3a，CP=DE=由余弦定理得cosA′CP=

5a,A′P=a 22

15

. 15

故A′C与DE所成角为arccos

(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示

.

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′ 在Rt△B′AD中，AD=2a，AB′=2a,B′D=2a 则cosADB′=

3 3

故AD与平面B′EDF所成的角是arccos

3. 3

(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心

.

作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心， 再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE， 故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.

352

a,OD=a,斜边DE=a,

222

OD OE30

则由面积关系得OM=a DE10OH30

在Rt△OHM中，sinOMH= OM6

30

故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin.

6

在Rt△DOE中，OE=

［例2］如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°

.

求：(1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目. 知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜AA1,＞=＜AA1,＞=120°而不是60°,＜,＞=90°. 技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

解:(1)|AC21| AC1 AC1 (AA1 )(AA1 ) (AA1 )(AA1 )

|AA21| ||2 ||2 2AA1 2AA1 2 由已知得:|AA1|2 b2,||2 ||2 a2

AA1, AA1, 120 , , 90

AA b acos120 12ab,AA1

11 b acos120 2ab, 0,

|AC21|2 2a2 b2 2ab, |AC1| 2a b2 2ab.

(2)依题意得,|| 2a, BD1 AA1 BD1 ( )(AA1 )

AA1 AA1 AD2 AB2 ab|BD1|2 1 BD1 (AA1 )(AA1 )

|AA21|2 |AD| |AB|2 2AA1 2 2AA1 2a2 b2

|BD1| 2a2 b2 cos BD1,

b14a2 2b2

∴BDb1与AC所成角的余弦值为4a2

2b

2

.

●锦囊妙计

空间角的计算步骤：一作、二证、三算 1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90°

方法：①平移法；②补形法.

2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90°

方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角

方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★★)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )

A.

2.(★★★★★)设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA= ∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为( ) A.30°

二、填空题

3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.

4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.

三、解答题

5.(★★★★★)已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且

B.45°

C.60°

D.75°

6

B.

4

C.

3

D.

2

PA=AD=AB=1,BC=2

(1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小； (3)求证：二面角B—PC—D为直二面角 …… 此处隐藏：3299字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……