导数在研究函数中的应用2

选修2-2精品

内部资料 2013-5-1

导数在研究函数中的应用㈡

一、要点精讲 1、导数的概念及运算 ⑴定义式 ()0x f '=0

lim →∆x x

y ∆∆=0

lim

→∆x x

x f x x f ∆-∆+)

()(00。

⑵几何意义：

曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率。也就是说，曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0x f '。 ⑶求导数的方法 ①基本导数公式

0)(='C （C 为常数） 1

)(-⋅='n n x n x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='

()x x 1ln =' ()e x

x a a l o g 1l o g =' ()x x e e =' ()a a a x x ln ='

②导数的四则运算

(.)'''v u v u ±=± .)('

''uv v u uv += ⎪⎭

⎫ ⎝⎛v u ‘=()0''2≠-v v

uv v u 。 ③复合函数求导步骤：分解——求导——回代。 法则： x U x U y y '⋅'='

2、导数的应用

⑴曲线的切线方程：曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-(()x f 在点P 处的导数存在)。 ⑵函数的单调性

若函数在()x f y =某个区间内可导，则

①()0>'x f ， ()x f 为增函数；②()0<'x f ，则()x f 为减函数．③()0='x f 。则()x f 为常数． ⑶求可导函数单调区间的一般步骤和方法.

①确定函数()x f 的定义区间.

②求()x f '，令()0='x f ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根.

③把函数()x f 的间断点（即包括()x f 的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()x f 的定义区间分成若干个小区间.

④确定()x f '在各小开区间内符号，根据()x f '的符号判定函数()x f 在每个相应小开区间内的增减性. ⑶函数的极值定义

①求可导函数()x f 极值的步骤：

求导数()→'x f 求方程()0='x f 的根→检验()x f '在方程()0='x f 的根的左右的符号，如果在根的左正右负，那么函数()x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的左负右正，那么函数()x f y =在这个根处取得极小值.

②求可导函数()x f 在[]b a ,上的最值的步骤

求()x f 在()b a ,内的极值→求()a f ，()b f 的值→比较()a f ，()b f 、极值的大小．

选修2-2精品

内部资料 2013-5-1

二、点击双基

1．设()x f y '=是函数()x f 的导函数，()x f y '=的图象如图所示，则()x f y =的图象最有可能的是（ C ）

2. 已知曲线ax x y 24

14

-=

在区间

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡3,21上的切线倾斜角取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛43,2ππ，则实数a 的最小值是（C ） (A) 8 (B) 12 (C) 14 (D) 15 ()123

-≤-='a x x f ，2

13

+≥

x a ，

3．函数()133

+-=x x x f 在闭区间[]0,3-上的最大值、最小值分别是（ ） (A) 1，-1 (B) 1，-17 (C) 3，-17 (D) 9，-19 解：y ′=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令y ′=0得x 1=－1，x 2=1。

当－3＜x ＜－1时，y ′＞0，函数()133

+-=x x x f 是增函数；

当－1＜x ＜0时, y ′＜0，函数()133

+-=x x x f 是减函数。

()173-=-f ，()31=-f ，()10=f ∴选C

4. 函数()x

x

e

e x

f -+=在（０，＋∞）上的单调性是__________.增函数

解:∵())1(2-=-='--x

x x x e e e e x f ，∴当x ∈（0,+∞）时，f ′（x ）＞0.

∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数.

5．函数()x x x f ln 22

-=的单调增区间为 ．

6．已知函数()2

2

3

a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值为10，则=a ，=

b ．

三、典例剖析

考点一：利用导数求函数的单调区间

1. 函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数 C A.（

2π,2

π3） B.（π,2π） C.（2

π3, 2

π5） D.（2π,3π）

解：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x , 当x ∈（2

π3,

2

π5）时,恒有x cos x ＞0.

2. 若函数f （x ）=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是 . 解：f ′（x ）=3x 2+2x +m . ∵f （x ）在R 上是单调递增函数，∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立，

即3x 2+2x +m ＞0. 由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞

3

1. 答案:m ＞

3

1

3.（09全国Ⅱ）(本小题满分12分) 设函数()()2

1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <

（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性；

解: （I ）()2

222(1)11a x x a

f x x x x

x

++'=+

=

>-++

令2

()22g x x x a =++，其对称轴为12

x =-

。由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不

选修2-2精品

内部资料 2013-5-1

相等的实根，其充要条件为480(1)0

a g a ∆=->⎧⎨

-=>⎩，得102

a <<

⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； 4、已知函数f （x ）=2ax －

2

1x

,x ∈（0,1］.

（1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围； 解:（1）由已 …… 此处隐藏：4922字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……