高等数学典型题目题解 一、一元函数微分学

1．当x 0时，下列无穷小量中阶数最低的是

（A）(1 cosx)arctanx （B） x x 1 （C）(ex 1)ln

1 x1 x

3

（D）x sinx x

2n 1

2．已知函数f(x) lim

axx

2n

2

bx

n

1

为连续函数，求a,b的取值范围．

ln(1 ax2)

,x 0

x arcsinx

6,x 0

3．（2003数学二）数f(x) 问a为何值时

ax

2

e x ax 1

,x 0

x

xsin

4

，f(x)在x 0处连续；问a为何值时，x 0为f(x)的可去间断点． 4．求下列极限 （1）lim

3 x xx x 2

2

x 1

（2）lim

x sinxx cosx

x

1

11 nn

（3）lim （4）lim(1 2 3)n x 0ln(1 x)n sinx

1

2 exln(1 x)

（5）lim （6）lim4

x 0xx 1 ex

21

sin cos

xx

x

5．设x1 1,xn 1

xn 11 xn

,n 2,3, .试证明数列 xn 极限存在，并求此极限．

1

6．曲线y e

x

2

arctan

x x 1(x 1)(x 2)

2

的渐近线有 条．

7．设f(x)在x a处可导．试证明f(x)在x a处不可导的充要条件是f(a) 0且

f (a) 0．

8．设f(u)连续， (x) 在x 0处的连续性．

1

f(xt)dt且lim

f(x)x

x 0

（A为常数），求 (x)，并讨论 (x) A

分析 应先用积分变量变换的办法，将 (x)

1

f(xt)dt中f(xt)内的x变换到积分号

外边，才能求 (x)．求出 (x)及 (0)，再讨论 (x)在x 0处的连续性． 9．设f(x)在x 0处存在二阶导数，且lim

f(0),f (0),f (0)．

xf(x) ln(1 x)

x

3

x 0

13

，求

分析 由所给条件，可将f(x)用佩亚偌余项泰勒公式展开代入，即可定出

f(0),f (0),f (0)．这就是最好方法．使用洛必达法则也可解本题，此法较繁．

10．设y f(x)存在二阶导数，f (x) 0,x (y)是y f(x)的反函数，则

(y) .

1f (y)

分析 由一阶导数公式 (y)

12x 3x 5

2

两边对y求导时，右边的x应看成y的函数．

11．（1）设y

，则y(n)

.

.

（2）设y arctanx，则y(n)(0)

12．设f(x)在区间[0,1]上存在二阶导数，且满足f(x) a，f (x) b，其中a,b为常数．试证明：当0 x 1时，有f (x) 2a 13．设常数k 0，函数f(x) lnx

b2

．

xe

k在区间内有且仅有

分析 用连续函数零点定理讨论至少有几个零点，用单调性讨论正好有几个零点，为此，要划分单调区间．

14．设f(x)在[0,b]上连续，在(0,b)内可导，f(0) 0．试证明：至少存在一点

(0,b)，使f(b) (1 )ln(1 b)f ( )．

15．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0，f(1) 1．常数a 0.b 0．试

af ( )

bf ( )

证明：存在 , (0,1)， ，使 a b．

16．设y f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数，且f"(x) 0，试证：①对于( 1,1)内的任一x 0，存在唯一的 (x) (0,1)，使得f(x) f(0) xf'( (x)x)成立；②

lim (x)

x 0

12

．（2000数学一）

1

1， 2

17．函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) f(1) 0，f

试证明：（1）存在 ，（2）对于任意的实数 ，必存在 (0, )，1 ，使f( ) ；

2

1

使得f'( ) f( ) 1．

二、一元函数积分学

s

1．设f(x)为连续函数，I t tf(tx)dx

(s 0,t 0)，则I之值( ).

(A) 依赖于s,t (B) 依赖于s,t,x (C) 依赖于t,x，不依赖于s (D) 依赖于s，不依赖于t. 2．设f(x)连续,则

2

ddx

x

tf(x

2

t)dt ( ).

2

(A) xf(x) (B) xf(x) (C) 2xf(x) (D) 2xf(x)

2

2

2

2 n sinsinsin 3. 求lim n 11

n 1n n

2n

4．（1）设G(x)

．

1x

2

t t

3

dt，则xG(x)dx

1

分析 本体有两种解法，一种是看成一个累次积分（二次积分，逐次积分），然后在交换积分次序；另一种方法是用分部积分． （2）

x sinx1 cosx

1 1

dx

t

2

5．设F(x) 题．

x tedt

12

(1 e)，讨论F(x)在区间( , )上零点的个数问

1

分析 先证F(x)为偶函数（一般，设f(x)连续，F(x)

a a

x tf(t)dt有与f(x)相

同的奇、偶性），然后讨论F(x)在0 x 上的单调性，划分区间，再讨论单调区间两端处F(x)的符号，便可得到F(x)的零点个数． 6．设f(x)在[0, ]上连续，且

f(x)dx 0，

试证明：在(0, )f(x)cosxdx 0．

内至少存在两个不同的点 1与 2使f( 1) f( 2) 0． 分析 由

f( 1)

，使f(x)dx 0，想到用积分中值定理．知存在 1 (0, )（见[注]）

f(x)dx 0,f( 1) 0．但要由另一式

f(x)cosxdx 0推出另一个

2 (0, )使f( 2) 0，并且 1 2，就有困难了．

7．设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x) f(x) m，则曲线y f(x),y g(x)，x a及x b所围成平面图形绕直线y m旋转一周所成的旋转体体积V为（ ）

（A） [2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（B） [2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（C） [m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（D） [m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

8．已知f(2)

12

,f'(2) 0, f(x)dx 1，求 x2f (2x)dx

21

三、向量代数与空间解析几何

1．设(a b) c 2，求[(a b) (b c)] (c a)．

x 5y 16 0 2y z 6 0 z 1 1

2．过点(2, 3,1)和直线 3．求直线L：

x 11

y1

的平面方程为 。

在平面 ：x y 2z 1 0上的投影直线L0的方程，

并求L0绕y轴旋转一周所生成曲面的方程．

四、多元函数微分学

1．设函数f(x,y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0) 3，fy(0,0) 1则（ ） （A）dz|(0,0) 3dx dy；

（B）曲面z f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为(3,1,1)；

z f(x,y) z f(x,y)

（C）曲线 ，在点(0,0,f(0,0))的切向量为(1,0,3)；（D）曲线 ，

y 0y 0

在点(0,0,f(0,0))的切向量为(3,0,1)． 2．考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质：

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续；②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续； ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微；④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在； 若用“P Q”表示由性质P推出性质Q，则有（ ）．

（A）② ③ ① （B）③ ② ① （C）③ ④ ① （D）③ ① ④． 3．已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且

lim

f(x,y) xy(x y)

2

2

2

(x,y) (0,0)

1，则

(A) 点(0,0)不是函数f(x,y)的极值点． (B) 点(0,0)是函数f(x,y)的极大值点． (C) 点(0,0)是函数f(x,y)的极小值点．

(D) 根据条件无法判断点(0,0)是否为函数f(x,y)的极值点． 4．设f(x,y) x y(x,y)，其中 (x,y)在点(0,0)处连续，问： （1） (x,y)在什么条件下，偏导数fx(0,0)、fy(0,0)存在？ （2）在此条件下f(x,y)在点(0,0)处是否可微？

z x y

2

5．设z f(2x y,ysinx) g(x y)，f,g C

22(2)

，．

五、多元函数积分学

1．设函数f(x,y)连续，则 dy

11

1 y1 1 y

22

f(x,y)dx

（A） d

2sin 02cos 0

f(rcos ,rsin )rdr f(rcos ,rsin )rdr

（B） d

（C）

2

2

d

2sin 0

f(rcos ,rsin )rdr

（D）

2

2

d

2cos 0

f(rcos ,rsin )rdr

2

2

21

4 yy

2．设函数f(x,y)连续，则 dx f(x,y)dy

1

x dy

f(x,y)dx

（A） dy

121

24 y12

f(x,y)dx （B） dx

121

24 x14 xx

f(x,y)dx f(x,y)dx

（C） dy f(x,y)dx （D） dx

y

3．设 (x)为区间 0,1 上的正值连续函数，a,b为任意常数，区域D (x,y)|0 x 1,0 y 1 ，则二重积分

D

a (x) b (y)

(x) (y)

（A）a （B）b （C）a b （D）4．求二重积分I

(x 1) y

2

2

12

a b

D

x y

22

ydxdy，其中D是由圆周x y

22

4和

1所围成的平面区域．

5．设区域D (x,y)| 1 x 1,0 y 1 ，求

D

y xdxdy．

2

6．设f(x,y) max x,y ，D (x,y)|0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分

D

f(x,y)y xxd．y

2

7．设

lim

1

D

e

x y

2

2

为中心在原点，以

cos(x y)dxdy

r为半径的圆域，则

r 0

r

2

D

8．计算二重积分I 9

．

设

空

2

D

(x y)dxdy，其中D (x,y)|x y

2

2

x y．

2

2

间

2

区

2

域

2

1 (x,y,z)|x y z

22

R,z 0

，

2 (x,y,z)|x y z

R,x 0,y 0,z 0，则

（A） xdV 4 xdV （B） ydV 4 ydV

1

2

1

2

（C） zdV 4 zdV （D） xyzdV 4 xyzdV

1

10．设 (x,y,z)|1 x y z 4,z

2 1

222

x y

22

，则三重积分 zdxdydz

2

（A）4

20d rdr

2

21

4 r1 r

2

2

zdz （B）4

20d rdr

1

2

4 rr

2

zdz

（C）4

20d 2d rcos sin dr

4

3

（D）4

20d

40

3

d rcos sin dr

1

2

11．计算I

y2 2z

(x y z)dV，其中 是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲

x 0

2

2

面与平面z 4所围成的立体．

12．设曲线L是圆周x2 y2 2x的下半部分，求

2

L

x yds．

22

13．设曲面 为球面x2 y2 z2 a2，则zdS ．

14．在过点O(0,0),A( ,0)的曲线族y asinx(a 0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分 (1 y)dx (2x y)dy的值最小．

L

3

15．设 为曲面z 计算积分I

x y

z

2

22

及平面z 1,z 2所围成的空间区域整个边界的外侧，

e

2

dxdy．

3

3

2

2

x y

3

16．计算I 上侧．

x

dydz ydzdx zdxdy，其中 为锥面z x y(0 z 1)的

六、无穷级数

１．设级数 un收敛，则必收敛的级数为

n 1

（A） ( 1)

n 1

n

unn

2

（B） un

n 1

（C） (u2n 1 u2n) （D） (un un 1)

n 1

n 1

常数 0, ，则级数 ( 1)n ntan a2n an收敛，

n 2 n 1

２．设an 0(n 1,2, )且

n 1

（A）发散 （B）绝对收敛

（C）条件收敛 （D）收敛或发散与 的取值有关 1

x,0 x a 2

３．设f(x) ，S(x) 0

2 2 2x,1 x 1

2

1

a

n 1

n

cosn x，( x )，其

中an 2 f(x)cosn xdx(n 0,1,2, )，则S

5

2

1 x2

arctanx,x 0

４．设f(x) x，试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数

1x 0

1 4n

n 1

( 1)

n2

的和．

５．设a1 2,an 1 （1）liman存在；

n

12

(an

1an

),n 1,2, ,证明：

（2）级数

n 1

(

anan 1

1)收敛．

６．求幂级数 (2n 1)xn的收敛域，并示其和函数．

n 1

七、常微分方程

2

1．设函数y(x)满足微分方程cosx y' y tanx，且当x

4

时，y 0，则当x 0

时，y 。

２．设y y(x)满足微分方程y" p(x)y'2 3y 0，其中p(x)是连续的非负函数．在下半平面内，考虑以下命题： ⑴曲线y y(x)必有拐点； ⑵曲线y y(x)不可能有拐点；

⑶若函数y y(x)有驻点，则该驻点必是y y(x)的极小值点； ⑷若函数y y(x)有驻点，则该驻点必是y y(x)的极大值点。 其中正确的是

（A）⑴ ⑶ （B）⑵ ⑶ （C）⑵ ⑷ （D）⑴ ⑷

3．设f(x)具有二阶导数，且满足 (x 1 t)f'(t)dt ex x2 f(x)，求f(x)。

x2xx xx2x x

4．已知y1 xe e,y2 xe e,y3 xe e e是某个二阶线性非齐次方程

x

的三个解，求此微分方程．