高等数学典型题目题解 一、一元函数微分学

1．当x 0时，下列无穷小量中阶数最低的是

（A）(1 cosx)arctanx （B） x x 1 （C）(ex 1)ln

1 x1 x

3

（D）x sinx x

2n 1

2．已知函数f(x) lim

axx

2n

2

bx

n

1

为连续函数，求a,b的取值范围．

ln(1 ax2)

,x 0

x arcsinx

6,x 0

3．（2003数学二）数f(x) 问a为何值时

ax

2

e x ax 1

,x 0

x

xsin

4

，f(x)在x 0处连续；问a为何值时，x 0为f(x)的可去间断点． 4．求下列极限 （1）lim

3 x xx x 2

2

x 1

（2）lim

x sinxx cosx

x

1

11 nn

（3）lim （4）lim(1 2 3)n x 0ln(1 x)n sinx

1

2 exln(1 x)

（5）lim （6）lim4

x 0xx 1 ex

21

sin cos

xx

x

5．设x1 1,xn 1

xn 11 xn

,n 2,3, .试证明数列 xn 极限存在，并求此极限．

1

6．曲线y e

x

2

arctan

x x 1(x 1)(x 2)

2

的渐近线有 条．

7．设f(x)在x a处可导．试证明f(x)在x a处不可导的充要条件是f(a) 0且

f (a) 0．

8．设f(u)连续， (x) 在x 0处的连续性．

1

f(xt)dt且lim

f(x)x

x 0

（A为常数），求 (x)，并讨论 (x) A

分析 应先用积分变量变换的办法，将 (x)

1

f(xt)dt中f(xt)内的x变换到积分号

外边，才能求 (x)．求出 (x)及 (0)，再讨论 (x)在x 0处的连续性． 9．设f(x)在x 0处存在二阶导数，且lim

f(0),f (0),f (0)．

xf(x) ln(1 x)

x

3

x 0

13

，求

分析 由所给条件，可将f(x)用佩亚偌余项泰勒公式展开代入，即可定出

f(0),f (0),f (0)．这就是最好方法．使用洛必达法则也可解本题，此法较繁．

10．设y f(x)存在二阶导数，f (x) 0,x (y)是y f(x)的反函数，则

(y) .

1f (y)

分析 由一阶导数公式 (y)

12x 3x 5

2

两边对y求导时，右边的x应看成y的函数．

11．（1）设y

，则y(n)

.

.

（2）设y arctanx，则y(n)(0)

12．设f(x)在区间[0,1]上存在二阶导数，且满足f(x) a，f (x) b，其中a,b为常数．试证明：当0 x 1时，有f (x) 2a 13．设常数k 0，函数f(x) lnx

b2

．

xe

k在区间内有且仅有

分析 用连续函数零点定理讨论至少有几个零点，用单调性讨论正好有几个零点，为此，要划分单调区间．

14．设f(x)在[0,b]上连续，在(0,b)内可导，f(0) 0．试证明：至少存在一点

(0,b)，使f(b) (1 )ln(1 b)f ( )．

15．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) 0，f(1) 1．常数a 0.b 0．试

af ( )

bf ( )

证明：存在 , (0,1)， ，使 a b．

16．设y f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数，且f"(x) 0，试证：①对于( 1,1)内的任一x 0，存在唯一的 (x) (0,1)，使得f(x) f(0) xf'( (x)x)成立；②

lim (x)

x 0

12

．（2000数学一）

1

1， 2

17．函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) f(1) 0，f

试证明：（1）存在 ，（2）对于任意的实数 ，必存在 (0, )，1 ，使f( ) ；

2

1

使得f'( ) f( ) 1．

二、一元函数积分学

s

1．设f(x)为连续函数，I t tf(tx)dx

(s 0,t 0)，则I之值( ).

(A) 依赖于s,t (B) 依赖于s,t,x (C) 依赖于t,x，不依赖于s (D) 依赖于s，不依赖于t. 2．设f(x)连续,则

2

ddx

x

tf(x

2

t)dt ( ).

2

(A) xf(x) (B) xf(x) (C) 2xf(x) (D) 2xf(x)

2

2

2

2 n sinsinsin 3. 求lim n 11

n 1n n

2n

4．（1）设G(x)

．

1x

2

t t

3

dt，则xG(x)dx

1

分析 本体有两种解法，一种是看成一个累次积分（二次积分，逐次积分），然后在交换积分次序；另一种方法是用分部积分． （2）

x sinx1 cosx

1 1

dx

t

2

5．设F(x) 题．

x tedt

12

(1 e)，讨论F(x)在区间( , )上零点的个数问

1

分析 先证F(x)为偶函数（一般，设f(x)连续，F(x)

a a

x tf(t)dt有与f(x)相

同的奇、偶性），然后讨论F(x)在0 x 上的单调性，划分区间，再讨论单调区间两端处F(x)的符号，便可得到F(x)的零点个数． 6．设f(x)在[0, ]上连续，且

f(x)dx 0，

试证明：在(0, )f(x)cosxdx 0．

内至少存在两个不同的点 1与 2使f( 1) f( 2) 0． 分析 由

f( 1)

，使f(x)dx 0，想到用积分中值定理．知存在 1 (0, )（见[注]）

f(x)dx 0,f( 1) 0．但要由另一式

f(x)cosxdx 0推出另一个

2 (0, )使f( 2) 0，并且 1 2，就有困难了．

7．设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x) f(x) m，则曲线y f(x),y g(x)，x a及x b所围成平面图形绕直线y m旋转一周所成的旋转体体积V为（ ）

（A） [2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（B） [2m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（C） [m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

（D） [m f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

a

b

8．已知f(2)

12

,f'(2) 0, f(x)dx 1，求 …… 此处隐藏：3795字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……