放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证不等式经典例题,是尖子生解决最后一题的必备!

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.1111111 2 nn 1n(n 1)nn(n 1)n 1n

114411 2( )

22n4n 1(2n 1)(2n 1)2n 12n 1n2 4

2. 2

)

4.

2n2n2n 1115. n (2 1)2(2n 1)(2n 2)(2n 1)(2n 1 1)2n 1 12n 16.

n 22(n 1) n11 n(n 1) 2n 1n(n 1) 2n 1n 2n(n 1) 2n 1

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放缩法证不等式经典例题,是尖子生解决最后一题的必备!

x2 x n*c (n N)例1.设函数y 的最小值为，最大值为，

且abnnn2x 1

（1）求cn；（2）证明：

例2.

证明：16 1

例3.已知正项数列 an 的前n项的和为sn，且an

2（1）求证：数列sn是等差数列； 11117 444c14c2c3cn4 17 1 2sn，n N*； an

（2）解关于数列n的不等式：an 1 (sn 1 sn) 4n 8

（3）记bn 2sn,Tn

2 331111 Tn

，证明：1 2b1b2b3bn

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例4. 已知数列 an 满足： n 2 an an 1； 是公差为1的等差数列，且an 1 nn

（1） 求an；（2

2 例5.在数列 an 中，已知a1 2,an 1an 2an an 1；

（1）求an；（2）证明：a1(a1 1) a2(a2 1) a3(a3 1) an(an 1) 3

2n 1an例6. 数列 an 满足：a1 2,an 1 ； n(n )an 22

5112n

（1）设bn ，求bn；（2）记cn ，求证： c1 c2 c3 cn 162n(n 1)an 1an

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例7. 已知正项数列 an 的前n项的和为sn满足：sn 1,6sn (an 1)(an 2)；

（1）求an；

（2）设数列 bn 满足an(2n 1) 1,并记Tn b1 b2 b3 bn， b

求证：3Tn 1 log2n

(a 3)（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8. 已知正项数列 an 满足：a1 1,nan 1(n 1)an 1 ， anan 1

记b1 a1,bn n[a1

（1）求an；

（2）证明：(1

2111 ](n 2)。 222a2a3an 11111)(1 )(1 ) (1 ) 4 b1b2b3bn4