3.2.1 几类不同增长的函数模型

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3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型

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想一想： 1.三种函数模型的性质 函数 性质 在(0,+∞)上的增减 性 图象的变化 y=ax(a>1) 单调递增 y=logax(a>1) 单调递增 y=xn(n>0) 单调递增

随 x 增大逐 随 x 增大逐 随 x 增大逐 渐上升 渐上升 渐上升 2.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0,+∞)上，函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数，但增 长速度不同，且不在同一个“档次”上. (2)在区间(0,+∞)上随着 x 的增大，y=ax(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度，而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个 x0,使得当 x>x0 时，有 logax<xn<ax.

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做一做：1.一根弹簧，挂重 100 N 的重物时，伸长 20 cm,当挂重 150 N 的重物时，若弹簧未达 到最大弹性限度，则弹簧伸长( D ) (A)3 cm (B)5 cm (C)25 cm (D)30 cm

解析：设弹簧伸长 l cm 时，所挂重物为 x N, 则 l=ax+b(a,b 为常数，且 a≠0), 把(0,0),(100,20)代入解析式， 1 得 a= ,b=0. 5 1 ∴l= x, 5 1 当 x=150 时，l= ×150=30(cm), 5 故选 D.首页

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2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后 来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可 选用( D ) (A)一次函数 (B)二次函数 (C)指数型函数 (D)对数型函数

解析：一次函数保持均匀的增长，丌能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有减； 挃数函数是爆炸式增长，丌符合“增长越来越慢”;因此，只有对数函数最符合题意，先快 速增长，后来越来越慢，选 D.

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3. 已知放射性物质镭经过 100 年剩留原来的 95.76%, 则经过 200 年剩留原来的________.解析：设每年的衰减率为 x,则(1-x)100=95.76%, 令(1-x)200=y,将第一个式子两边平方， 得(1-x)200=y=(95.76%)2≈0.9170=91.70%.

答案：91.70%

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知识要点一：函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出

来， 然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题. 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成. (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题. 建模过程示意图：

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知识要点二：几种常见的函数模型 1.一次函数模型：f(x)=kx+b(k、b 为常数，k≠0); k 2.反比例函数模型：f(x)= +b(k、b 为常数，k≠0); x 3.二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c 为常数，a≠0);二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为 常见.

4.指数函数模型：f(x)=abx+c(a、b、c 为常数，a≠0,b>0,b≠1); 5.对数函数模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a 为常数，a>0,a≠1);随着新课标的实施，挃数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高 考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色.

6.幂函数模型：f(x)=axn+b(a、b、n 为常数，a≠0,n≠1); 7.分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分 广泛.首页

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知识要点三：指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异. 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数); 在区间(0,+∞)上，尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增函数，但它们 的增长速度不在同一个“档次”上. 随着 x 的增大， y=ax(a>1)的增长速度越来越快， 会超过 并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度，而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存 在一个 x0,当 x>x0 时，就有 logax<xn<ax,此式揭示了在充分远处三种函数的变化规律.

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