核反应堆物理分析答案

第一章

1-1.某压水堆采用UO2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。试计算：当中子能量为0.0253eV时，UO2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时： a(U5) 680.9b, f(U5) 583.5b, a(U8) 2.7b 由289页附录3查得，0.0253eV时： a(O) 0.00027b

以c5表示富集铀内U-235与U的核子数之比， 表示富集度，则有：

235c5

235c5 238(1 c5)

1

c5 (1 0.9874( 1)) 1 0.0246

M(UO2) 235c5 238(1 c5) 16 2 269.91000 (UO2) NA

N(UO2) 2.23 1028

M(UO2)

所以，N(U5) c5N(UO2) 5.49 1026

(m)

3

(m 3) (m 3)

N(U8) (1 c5)N(UO2) 2.18 1028N(O) 2N(UO2) 4.46 1028

(m 3)

a(UO2) N(U5) a(U5) N(U8) a(U8) N(O) a(O)

0.0549 680.9 2.18 2.7 4.46 0.00027 43.2(m 1)

f(UO2) N(U5) f(U5) 0.0549 583.5 32.0(m 1)

1-2.某反应堆堆芯由U-235,H2O和Al组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时：

a(U5) 680.9b

由289页附录3查得，0.0253eV时： a(Al) 1.5m 1, a(H2O) 2.2m 1,M(U) 238.03,

(U) 19.05 103kg/m3

可得天然U核子数密度N(U) 1000 (U)NA/M(U) 4.82 1028

(m 3)

(m 1)

则纯U-235的宏观吸收截面： a(U5) N(U5) a(U5) 4.82 680.9 3279.2总的宏观吸收截面： a 0.002 a(U5) 0.6 a(H2O) 0.398 a(Al) 8.41-6

(m 1)

PV V 3.2 10 11

P2 107172

1.25 10m

3.2 10 115 3.2 10 11

1-12题

1000 106

每秒钟发出的热量： E 3.125 109J

0.32

PT

每秒钟裂变的U235：N 3.125 1010 3.125 109 9.7656 1019(个)

运行一年的裂变的U235：N' N T 9.7656 1019 365 24 3600 3.0797 1027(个) 消耗的u235质量：

(1 )N'(1 0.18) 3.0797 1027 2356

m A 1.4228 10g 1422.8kg 23

NA6.022 10E'1 109 365 24 360096

需消耗的煤： m 3.3983 10Kg 3.3983 10吨 7

Q0.32 2.9 10

1-10.为使铀的η＝1.7，试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。

解：由18页表1-3查得，0.0253eV时： a(U5) 680.9b, f(U5) 583.5b, a(U8) 2.7b

,v(U5) 2.416

由定义易得：

v(U5) f

a

v(U5)N(U5) f(U5)N(U5) a(U5) N(U8) a(U8)

N(U8)

N(U5)v(U5) f(U5)( a(U5))

a(U8)

N(U5)2.416 583.5

( 680.9) 54.9N(U5) 2.71.7

为使铀的η＝1.7， N(U8) 富集度

235N(U5)235

100% 1.77%

235N(U5) 238N(U8)235 238 54.9

. 一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为0.85, U-235

的俘获－裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。

解：该电站一年释放出的总能量=900 10 0.85 3600 60 24 365 2.4125 10J

6

16

2.4125 1016

7.54 1026 对应总的裂变反应数=6 19

200 10 1.6 10

因为对核燃料而言： t f

核燃料总的核反应次数=7.54 10 (1 0.169) 8.81 10

26

26

8.81 1026 235

344(kg) 消耗的U-235质量=

6.02 1023 1000

消耗的核燃料质量=344/20% 1720

(kg)

第二章

.某裂变堆，快中子增殖因数1.05，逃脱共振俘获概率0.9，慢化不泄漏概率0.952，扩散不泄漏概率0.94，有效裂变中子数1.335，热中子利用系数0.882，试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。

解： 无限介质增殖因数：k pf 1.1127 不泄漏概率： s d 0.952 0.94 0.89488 有效增殖因数：keff k 0.9957

2-1.H和O在1000eV到1eV能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20b和38b。计算H2O的ξ以及在H2O中中子从1000eV慢化到1eV所需的平均碰撞次数。

解：不难得出，H2O的散射截面与平均对数能降应有下述关系：

σH2O ξH2O = 2σH ξH + σO ξO

即：

(2σH + σO ) ξH2O = 2σH ξH + σO ξO ξH2O =（2σH ξH + σO ξO）/(2σH + σO )

查附录3，可知平均对数能降：ξH=1.000，ξO=0.120，代入计算得：

ξH2O = (2×20×1.000 + 38×0.120)/(2×20 + 38) = 0.571

可得平均碰撞次数：

Nc = ln(E2/E1)/ ξH2O = ln(1000/1)/0.571 = 12.09 ≈ 12.1

2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能Ec以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。设慢化能谱服从Ф(E)=Ф/E分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由Ec以上能区，（1）散射到能量E（E<Ec）的单位能量间隔内之中子数Q(E)；（2）散射到能量区间ΔEg=Eg-1-Eg内的中子数Qg。 解：（1）由题意可知：

Q(E) s(E') (E')f(E' E)dE'

Ec

对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：

Q(E)

Ec

E/a

s (E')f(E' E)dE'

在质心系下，利用各向同性散射函数：f(E' E)dE'

dE'

。已知 (E') ，有：

E'(1 )E'

Ec s 1(E Ec) s dE' dE'1

Q(E) s s ( )

E/aE/a(1 )E'2E'(1 )E'(1 )EcE/ (1 )EEc

Ec

（这里隐含一个前提：E/α>E’）

（2）利用上一问的结论：

Qg

Eg 1

Eg

E

Q(E)dE s

(1 )Ec

Eg 1

Eg

Eg 11E s E Eg dE s(g 1 lng 1)

(1 )EgE(1 )EcEg

2-8.计算温度为535.5K，密度为0.802×103 kg/m3的H2O的热中子平均宏观吸收截面。

解：已知H2O的相关参数，M = 18.015 g/mol，ρ = 0.802×103 kg/m3，可得：

103 NA0.802 106 6.023 1023

N 2.68 1028 m-3

M18.015

已知玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23 J K-1，则：

kTM = 1.38 ×10-23×535.5 = 739.0 (J) = 0.4619 (eV)

查附录3，得热中子对应能量下，σa = 0.664 b，ξ = 0.948，σs = 103 b，σa = 0.664 b，由“1/v

”律：

a(kTM) a 0.4914 (b)

由56页（2-81）式，中子温度：

Tn TM[1 0.46

2A a(kTM)2 18 N 0.4914

] 535.5[1 0.46] 577.8 (K)

sN 103

对于这种”1/v”介质，有：

na

0.4192 (b)

所以： a N a 2.68 0.4108 1.123 (m-1)

第三章

3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到235U薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为1012 cm-2·s-1。自右面入射的中子束强度2×1012 cm-2·s-1。计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度；

（3）设Σa = 19.2×102 m-1，求该点的吸收率。 解：（1）由定义可知： I I 3×1012 (cm-2·s-1)

（2）若以向右为正方向：J I I -1×1012 (cm-2·s-1)

可见其方向垂直于薄片表面向左。

（3）Ra a 19.2 3×1012 = 5.76×1013 (cm-3·s-1) 3.2 设在x处中子密度的分布函数是

n

n(x,E, ) 0e x/ eaE(1 cos )

2

其中：λ，ɑ为常数，μ是 与x轴的夹角。求：

（1） 中子总密度n( x )；

（2） 与能量相关的中子通量密度φ( x, E )； （3） 中子流密度J( x, E )。

解：由于此处中子密度只与 与x轴的夹角有关，不妨视μ为极角，定义 在Y-Z平面的投影上与Z轴的夹角φ

为方向角，则有： （1）根据定义：

n0 x/ aE

n(x) dE ee(1 cos )d

04 2 2 n

dE d 0e x/ eaE(1 cos )sin d 0002

n0e

x/

edE (1 cos )sin d

aE

可见，上式可积的前提应保证ɑ < 0，则有：

aE

x/ en(x) n0e()( sin d cos sin d )

0a00

n0e x/ 2n0e x/

( cos 0 0)

aa

（2）令mn

为中子质量，则E mnv2/2 v(E)

(x,E) n(x,E) v(E)

cos sin cos

4

n(x,E, )d 2n0e x/ e（等价性证明：如果不作坐标变换，则依据投影关系可得：

则涉及角通量的、关于空间角的积分：

d sin d cos d sin d

2 ( cos ) (sin sin d ) 4 0 4

4

2

2

2

2

2

2

(1 cos )d d (1 sin cos )sin d

对比：

d sin d d sin cos d

2 ( cos ) ( sin cos d ) 4 0 4

4

2

2

2

(1 cos )d d (1 cos )sin d

可知两种方法的等价性。） （3）根据定义式：

J(x,E)

4

(x,E, )d n(x,E, )v(E)d

4

2

d cos (1 cos )sin d

n0e x/ eaE cos sin d cos2 sin d )

利用不定积分：

e

cosn 1x

cosxsinxdx C （其中n为正整数），则：

n 1

n

J(x,E) n0e

x/ cos

)

303

3.7 设一立方体反应堆，边长ɑ = 9 m。中子通量密度分布为

x,y,z 3 1013cos(

已知D = 0.84×10-2m，L = 0.175 m。试求：

x

a

)cos(

y

a

)cos(

z

a

)

(cm 2 s 1)

（1） J(r)表达式；

（2） 从两端及侧面每秒泄漏的中子数；

（3） 每秒被吸收的中子数（设外推距离很小可略去）。 解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设φ0 = 3×1013 cm-2 s-1。

（1）利用Fick’s Law：

J(r) J(x,y,z) Dgrad (x,y,z) D(i j k)

x y z

x y z y x z

z x y D 0[sin()cos()cos()i sin()cos()cos()j sin()cos()cos()k]

aaaaaaaaaa

J(r) J(r)

D 0

2）先

计算上端面的泄漏率：

Lz a/2

a/2 a/2 x y

J(r) kdS D 0 dx sin()cos()cos()dyS(z a/2) a/2a a/22aa

a/2

a/2

a xa ya D 0[sin()] [sin()] 4D 0

a a a/2 a a/2

同理可得，六个面上总的泄漏率为： L = 6 4D 0

a

24 0.84 10 2 3 1013 104

9

1.7×1017 (s-1) 3.14

其中，两端面的泄漏率为L/3 = 5.8×1016 (s-1)；侧面的泄漏率为L-L/3 = 1.2×1017 (s-1) (如果有同学把问题理解成‘六个面’上总的泄漏，也不算错) （3）由L2 D/ a可得 a D/L2

由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率：

a/2a/2a/2D x y zD2a3

dxdycos()cos()cos()dz ()20 a/220 a/2 a/2LaaaL

V

RadV a dV

V

2

0.8 410 213817 3 10 ) 1.24×1020 (s-1) 2

0.1753.14

3.8 圆柱体裸堆内中子通量密度分布为

(r,z) 1012cos(

z

H

)J0(

2.405r

)R

(cm 2 s 1)

其中，H，R为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计）。试求： （1） 径向和轴向的平均中子通量密度与最大中子通量密度之比； （2） 每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数；

（3） 设H = 7 m，R = 3 m，反应堆功率为10 MW，σf,5 = 410 b，求反应堆内235U的装载量。 解：有必要将坐标原点取在圆柱体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设φ0 = 1012 cm-2 s-1。且借用上一题的D值。 （1）先考虑轴向：

z

H/2

H/2

dz/

H/2

H/2

dz

H/2

H/2

0cos(

H/2

z

H

)J0(

2.405r

)dr/HR

2.405rH z22.405r

J0()[sin()] 0J0()HR H H/2 R

且

0

z2.405r 0sin()J0()在整个堆内只在z = 0时为0，故有： zHHR

2.405r

z,max (r,0) 0J0()

R

z/ z,max

径向：

R

2

0J0(

R

2.405r2.405r2

)/ 0J0() RR

R

2.405r

)dr/R

000HR z2.405r2.405 z2.405r

( 0cos()J0) 0cos()J1()在整个堆内只在r= 0时为0，故有： 且

rHRRHR

z

r,max (0,z) 0cos()

H

R zR2.405r z2.405r

r/ r,max 0cos() J0()dr/R 0cos() J0()dr/R

0H0RHR

r dr/ dr 0cos(

z

)J0(

已知

2.405

J0(x)dx 1.47，所以：

1.47 R

/R 0.611

2.405

r/ r,max

Lz H/2

（2）先计算上端面的泄漏率：

S(z H/2)

2

J(r) ezdS

R0

S(z H/2)

Dgrad (r,z) ezdS

D d

2 R z2.405r

rdr D d sin()rJ0()dr

00H zHRz H/2z H/2

R

2 D 0R2 R2.405r

D 02 [rJ1()] J1(2.405)

H2.405R2.405H0

2 D 0R2

J1(2.405) 2.93×1014 (s-1) 易知，两端面总泄漏率为2

2.405H

侧面泄漏率：

Lr R

S(r R)

J(r) erdS

H/2

S(r R)

Dgrad (r,z) erdS

D

2

d Rdz

H/2 rr R

J1，且已知J1(2.405) = 0.5191，可得： 利用Bessel函数微分关系式：J0

J0(2.405r/R)2.4052.405r J1()

rRR

所以：

Lr R

2 2.405HD 0 2.405H z D 02 RJ1(2.405)[sin()] J1(2.405) 4.68×1014 (s-1)

R H H/2

6

19

H/2

（3）已知每次裂变释能Ef 200MeV 200 10 1.6 10

3.2 10 11(J)

P Ef f dV Ef N5 f,5 dV

V

V

所以：N5 其中：

PEf f,5 dV

V

dV

V

H/2

H/2

dz d 0cos(

2 R

z

H

R0

)J0(

2.405r

)rdrR

2 0[

H

sin(

z

H

H/2

)]

H/2

[ rJ0(

2.405r

)dr]R

利用Bessel函数的积分关系式：

xnJn 1(x)dx xnJn，可得

rJ0(

2.405rR2.405r

)dr rJ1() R2.405R

已知：J1(0) = 0，J1(2.405) = 0.5191，所以：

dV 2 0

V

2H

R4

RJ1(2.405) 0HR2J1(2.405)= 5.44×1017 (m s-1)

2.4052.405

所以：

N5

PEf f,5 dV

V

106/(3.2×10-11×410×10-28×5.44×1017) = 1.40×1024 (m-3)

所需235U装载量：

m5 10 3N5VM5/NA 10-3×1.40×1024×3.14×32×7×235/(6.02×1023 ) = 108 (kg)

3.9 试计算E = 0.025 eV时的铍和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于EBe C

对于Be：

s/m-1

8.65 3.85

1 0

0.9259 0.9444

D

tr

3

s

3(1 0)

1

0.0416 (m)

3 s(1 0)

同理可得，对于C： D = 0.0917 (m)

3-12 试计算T = 535 K，ρ = 802 kg/m3 时水的热中子扩散系数和扩散长度。 解：查79页表3-2可得，294K时：D 0.0016m，由定义可知：

tr(T)/31/ s(T)N(293K) s(293K) (293K)D(T)

D(293K) tr(293K)/31/ s(293K)N(T) s(T) (T)

所以：

D (293K)D(293K)/ 0.00195 (m)

（另一种方法：如果近似认为水的微观散射截面在热能区为常数，且不受温度影响，查附表3可得：

s 103 10 28m2,1 0 0.676, a 0.664 10 28m2

在T = 535 K，ρ = 802 kg/m3 时，水的分子数密度：

103 NAN 103×802×6.02×1023 / 18 = 2.68×1028 (m-3)

M

所以： s N s 276 (m-1)

D

tr

3

s

3(1 0)

1

1/（3×2.68×103×0.676）= 0.00179 (m)

3 s(1 0)

这一结果只能作为近似值）

中子温度利用56页（2-81）式计算：

Tn TM[1 0.46

2A a(kTM)2A a(kTM)

] TM[1 0.46]

s s

其中，介质吸收截面在中子能量等于kTM = 7.28×1021 J = 0.0461 eV

再利用“1/v”律：

a(kTM) a(0.0253eV 0.4920 (b)

Tn = 535×( 1 + 0.46×36×0.4920 / 103 ) = 577 (K)

（若认为其值与在0.0253 eV时的值相差不大，直接用0.0253 eV热中子数据计算： Tn = 535×( 1 + 0.46×36×0.664 / 103 ) = 592 (K) 这是一种近似结果）

（另一种方法：查79页表3-2，利用293K时的平均宏观吸收截面与平均散射截面： a(293K) 1.97(m-1)

s(293K)

1

1 / （3×0.0016×0.676）= 308 (m-1)

3D(293K)(1 0)

进而可得到Tn = 592 K） 利用57页（2-88）式

a

0.414×10-28 (m2)

a Na 1.11 (m-1)

sN sN

s(293K)N(293K) s(293K)N(293K) (293K)

s

s(293K)

802 / ( 3×1000×0.0016×0.676 ) = 247 (m-1

)

(293K)3 (293K)D(293K)(1 0)

L

0.0424 (m)

（此题如果利用79页（3-77）式来计算： 由于水是“1/v”介质，非1/v修正因子为1：

L2 L

代入中子温度可得：

L 0.0285 0.0340 (m)

这是错误的！因为（3-74）式是在（3-76）式基础上导出的，而（3-76）式是栅格的计算公式，其前提是核子数密度不随温度变化）

3.13 如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为S s-1的点源，试求P1和P2点的中子通量密度和中子流密度。 解：按图示定义平面坐标。

O

假设该介质无吸收、无散射，则在P2点，来自左右两个点源的中子束流强度均为I+ = I- = S/4πa2，可知：

X

(P2) I (P2) I (P2) S/2 a2

J(P2) I(P2) I(P2) 0

在P1

点，来自左右两个点源的中子束流强度均为S/4 )2，且其水平方向的投影分量恰好大小相等、方向相反，可得：

2

(P) I(P) I(P)

S/4 a111

J(P) I(P) I(P) 1112

8 a 其方向沿Y轴正向。

若考虑介质对中子的吸收及散射，设总反应截面为 t，则上述结果变为：

(P2) Se a/2 a2 J(P2) 0 (P)

S

1

t

ta

/ 42a

taJ(P1)

8 a2

（注意：如果有同学用解扩散方程的方法，在有限远处的通量密度同时与x、y、z有关。） 3-16 设有一强度为 I（m-2 s-1）的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。试求： （1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率； （2）平板内中子通量密度的分布； （3）中子最终扩散穿过平板的概率。 解：（1）I(a)/I0 exp( ta)

（2）此情况相当于一侧有强度为I的源，建立以该侧所在横坐标为x 原点的一维坐标系，则扩散方程为：

d2 (x) (x)

2 0,2

dxL

x 0

x 0

边界条件： i. limJ(x) I

ii. limJx(a) 0

x a

方程普遍解为： (x) Ae x/L Cex/L 由边界条件i可得：

limJ(x) lim( D

x 0

x 0

d 11D

) lim{ D[Ae x/L Cex/L]} (A C) Ix 0dxLLL

A

IL

CD

由边界条件ii可得：

1d (x)Ae a/L Cea/L Ae a/L Cea/L

limJ(a) 0x a46 trdxx a46L tr

x

(a)

A

所以：

2 3L tr2a/LL 2D2a/L

Ce Ce

2 3L trL 2D

L 2D2a/LILIL1Ce C C L 2DDDe2a/L 1

2D L

2D L2a/L

e

IL1IL A (1 )

2D L2a/LDD2D Le2a/L 1e 12D L2D L

2D L2a/L

e

IL1 (x) (e x/L ex/L)

2D L2a/LD2D Le2a/L 1e 1

2D L2D LIL(L 2D)e(a x)/L (2D L)e (a x)/L []D(L 2D)ea/L (2D L)e a/L

（也可使用双曲函数形式：

方程普遍解为： (x) Acosh(x/L) Csinh(x/L) 由边界条件i可得：

limJ(x) lim( D

x 0

x 0

d AxCxD

) lim{ D[sinh() cosh()]} C Ix 0dxLLLLL

IL

C

D

由边界条件ii可得：

Jx (a)

(a)

4

1d (x)6 trdx

x a

aaaa

Acosh() Csinh()Asinh() Ccosh()

0

46L tr

aaaa

cosh()/6L tr sinh()/42Dcosh() Lsinh()

IL A C

aaaacosh()/4 sinh()/6L trDLcosh() 2Dsinh()

LLLL

所以：

aa

2Dcosh() Lsinh()IL)cosh(x) sinh(x)] (x) [(

DLcosh() 2Dsinh()LL

LL

可以证明这两种解的形式是等价的）

（3）此问相当于求x = a处单位面积的泄漏率与源强之比：

Jx

x a

I

J(a) J(a)J(a) Dd (x)

IIIdx

x

x a

11 (L 2D) La/L a/L

(L 2D)e (L 2D)e

(L 2D)

4D

(L 2D)ea/L (L 2D)e a/L

（或用双曲函数形式：

Jx

x a

I

2D

）

Lcosh(a/L) 2Dsinh(a/L)

3-17 设有如图3-16所示的单位平板状“燃料栅元”，燃料厚度为2a，栅元厚度为2b，假定热中子在慢化剂内以均匀分布源（源强为S）出现。在栅元边界上的中子流为零（即假定栅元之间没有中子的净转移）。试求： （1）屏蔽因子Q，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内平均中子通量密度之比； （2）中子被燃料吸收的份额。 解：（1）以栅元几何中线对应的横坐标点为原点，建立一维横坐标系。在这样对称的几何条件下，对于所要解决的问题，我们只需对x > 0的区域进行讨论。

d2 (x) (x)

2 0,燃料内的单能中子扩散方程：2

dxL

x 0

0 x a

边界条件： i. limJ(x) 0 ii. lim (x) S

x a

通解形式为： (x) Acosh(x/L) Csinh(x/L) 利用Fick’s Law：J(x) D代入边界条件i： D[

d (x)AxCx

D[sinh() cosh()] dxLLLL

AxCxDCsinh() cosh()] 0 C 0 LLLLx 0L

a

L

aL

aL

S

cosh(a/L)

代入边界条件ii：Acosh() Csinh() Acosh() S A

所以F

F

dV

dV

F

dx1S

acosh(a/L) dx

0a0

a

x1S Lsinh(a/L)SLa

cosh()dx tanh() 0Lacosh(a/L)aL

a

Scosh(a/L)

(a)aacosh(a/L)Q coth()

L F

tanh(a/L)La

（2）把该问题理解为“燃料内中子吸收率 / 燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分

F别为 a和 a，则有：

M

F

F

dV

M

Fa

F a dV

FF

aaF aLtanh(a/L)

回顾扩散 a bFMFMMFM Ltanh(a/L) (b a)aa a dV a dx a dx aaF a(b a)S

a

a

F

a dx

FF

长度的定义，可知：L2 D/ a aL D/L，所以上式化为： F

aLtanh(a/L)Dtanh(a/L)

FMM

aLtanh(a/L) a(b a)Dtanh(a/L) L a(b a)

（这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S，其在b处的流密度自然为0，但在a处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为0这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。） 3-21 解：（1）建立以无限介质内任一点为原点的球坐标系（对此问题表达式较简单），建立扩散方程：

D 2 a S

即：

2

aS

DD

边界条件：i. 0 , ii.J(r) 0,0 r 设存在连续函数 (r)满足：

2 2 ,

aS1

2

DDL

(1)(2)

2

可见，函数 (r)满足方程 由条件i可知：C = 0，

1exp( r/L)exp(r/L)

(r) A C，其通解形式： L2rr

由方程（2）可得： (r) (r) S/ a Aexp( r/L)/r S/ a 再由条件ii可知：A = 0，所以：

S/ a

（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0）

（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：

D 2 a S

即：

2

aS

，x > 0 DD

x 0

边界条件：i. 0 | | ,

ii. limJ(x) at (0)/2,

iii. limJ(x) 0

x

对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。

参考上一问中间过程，可得通解形式： (x) Aexp( x/L) Cexp(x/L) S/ a

J(x) D

d AD x/LCDx/L

e e dxLL

由条件ii可得：

limJ(x)

x 0

ADCDtStLS

(A C ) C A (A C ) aa

LL2 a2D a

由条件iii可得：C = 0

所以： A a

tLSS

(A ) A

2D a

( 1) a

tL a

x/L

SSS x/Late (x) e [1 ]

a a at (2D/L)( 1) atL a

对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

3-22

解：以源平面任一点为原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：

1

(x),x 021L

1

2 2(x) 2 2(x),x 0

L 2 1(x)

边界条件： i. lim 1(x) lim 2(x);

x 0

x 0

ii. lim[J(x)|x 0 J(x)|x 0 ] S;

0

iii. 1(a) 0;

iv.

2( b) 0;

通解形式： 1 A1sinh(x/L) C1cosh(x/L)， 2 A2sinh(x/L) C2cosh(x/L) 由条件i：C1 C2 由条件ii：

（1）

d 1d Dxxxx

D2) lim[ A1cosh() C1sinh() A2cosh() C2sinh()] S

x 0x 0LdxdxLLLLSLSL A2 A1 A1 A2 （2）

DDlim( D

由条件iii、iv：

A1sinh(a/L) C1cosh(a/L) 0 C1cosh(a/L) A1sinh(a/L)

（3） （4）

A2sinh( b/L) C2cosh( b/L) 0 C2cosh(b/L) A2sinh(b/L)

联系（1）可得：A1 A2tanh(b/L)/tanh(a/L) 结合（2）可得：A2

SLtanh(b/L)SL/D

A2 A2 Dtanh(a/L)1 tanh(b/L)/tanh(a/L)

A1

SL/D

1 tanh(a/L)/tanh(b/L)

SLtanh(a/L)tanh(b/L)/D

tanh(a/L) tanh(b/L)

C1 C2 A1tanh(a/L)

所以：

SL tanh(b/L)sinh(x/L) tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)

],x 0 D[tanh(b/L) tanh(a/L)

(x)

SLtanh(a/L)sinh(x/L) tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L) [],x 0 tanh(b/L) tanh(a/L) D

3-23

证明：以平板中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：

D 2 a S

即：

2

aS

，x > 0 DD

x 0

边界条件：i. 0 | | , ii. limJ(x) 0, iii. (a d) 0

参考21题，可得通解形式： (x) Asinh(x/L) Ccosh(x/L) S/ a

J(x) D

d ADxCDx

cosh() sinh() dxLLLLAD

0 A 0 L

由条件ii可得：

limJ(x)

x 0

a dSS

) 0 C

L a

acosh()

L

SxSScosh(x/L)

所以： (x) cosh() [1 ]

L a a

acosh()cosh()

LL

再由条件iii可得： (a d) Ccosh(

由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。

3-24 设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中子通量密度分布。 解：以球心为原点建立球坐标系，建立扩散方程：

D 2 a S

即：

2

aS DD

iii. lim4 rJ(r) 0

r 0

2

边界条件：i. 0 , ii.. (R d) 0,

通解： (r) A

exp( r/L)exp(r/L)S

C

rr a

2

r 0

由条件iii：lim4 rJ(r) lim4 D[A(

r 0

rr

1)e r/L C( 1)er/L] 0 A C LL

再由条件ii：

(R d)

AR dCR dS

exp( ) exp(R) 0R dLR dL a

(R d)S

A

a[exp( ) exp()]

LL

所以： (r)

(R d)S[exp( r/L) exp(r/L)]1SS(R d)cosh(r/L)

[1 ]

r aa a[exp( ) exp()]rcosh()LLL

（此时，limJ(r) 0）

r 0

第四章

4-1 试求边长为a，b，c（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度分布。设有一边长a=b=c=0.5 m，c=0.6 m（包括外推距离）的长方体裸堆，L=0.0434 m，τ=6 cm2。（1）求达到临界时所必须的k∞；（2）如果功率为5000 kW，Σf=4.01 m-1，求中子通量密度分布。

解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：

2 2 2

D(2 2 2) a k a 0 x y z

边界条件： (a/2,y,z) (x,b/2,z) (x,y,c/2) 0

（以下解题过程中不再强调外推距离，可以认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量变化是相互独立的，利用分离变量法： (x,y,z) X(x)Y(y)Z(z)

k 1 2X 2Y 2Z

2 将方程化为：XYZL

22

2X2 Y2 Z Bx, By, Bz2 设：XYZ

先考虑x方向，利用通解：X(x) AcosBxx CsinBxx 代入边界条件：Acos(Bx

an

) 0 Bnx ,n 1,3,5,... B1x 2aa

同理可得： (x,y,z) 0cos(其中φ0是待定常数。

a

2

x)cos(

a

y)cos(

a

z)

其几何曲率：Bg () () () 106.4 ( m-2 )

2

2

2

abc

（1）应用修正单群理论，临界条件变为：其中：M L 0.00248 ( m2 )

2

2

k 12

Bg 2

M

k 1.264

（2）只须求出通量表达式中的常系数φ0

a2a0 2

b2b 2

c2c 2

P Ef f dV Ef f

V

cos(x)dx cos(y)dy ab

P( /2)3

cos(z)dz Ef f 0abc() 0

c Ef fabc

2

3

1.007×1018 ( m-2 s-1 )

4-2 设一重水-铀反应堆堆芯的k∞=1.28，L2=1.8×10-2 m2，τ=1.20×10-2 m2。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部材料曲率和达到临界时总的中子不泄漏概率。 解：对于单群理论：Bm 在临界条件下：

2

k 1

15.56 ( m-2 ) 2

L

11

0.7813 2222

1 BgL1 BmL

(或用 1/k )