第27卷第5期2006年9月兵工学报ACTAARMAMENTARIIVol.27No.5Sep.2006

线性正则变换域的Hilbert变换

李炳照1,2,陶然1,王越1

(1 北京理工大学信息科学技术学院,北京100081;2 北京理工大学数学系,北京100081)

摘要:Hilbert变换(HT)是信号处理中的一个重要的变换关系式,它被广泛应用于调制理论、边缘检测以及滤波器设计等方面,通过HT可以把一个信号与它的解析信号联系在一起;而线性正则变换(LCT)是Fourier变换(FT)、分数阶Fourier变换(FRFT)的进一步推广,是更一般形式的变换。给出LCT域中HT的定义,并指出这种LCT域中HT与传统的FT域的HT有类似的性质。 关键词:信息处理技术;Fourier变换;分数阶Fourier变换;线性正则变换;Hilbert变换 中图分类号:TN911 7

文献标志码:A

文章编号:1000-1093(2006)05-0827-04

HilbertTransformAssociatedwiththeLinearCanonicalTransform

LIBing-zhao1,2,TAORan1,WANGYue1

(1 SchoolofInformationScienceandTechnology,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China;

2 Departmentofmathematics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

Abstract:Hilberttransform(HT)isanimportantsignalprocessingtoolthatisusedinmanyapplica-tionssuchasmodulations,edgedetectionandfilterdesigninsignalprocessing.AnanalyticsignalanditsoriginalsignalareconnectedbytheHT.Atthesametime,thelinearcanonicaltransform(LCT)is

thegeneralizedformofFouriertransformandthefractionalFouriertransform,itcanbeconsideredasagenerallineartransform.ThedefinitionandpropertiesofHilberttransforminlinearcanonicaltrans-formdomainwereproposed.SomeimportantpropertiesofthiskindofHilberttransformweregiven,anditisshownthatthenewlydefinedHilberttransformhassomesimilarpropertieswiththeHilberttransforminthetraditionalFouriertransformdomain.

Keywords:informationprocessingtechnique;FT;FRFT;LCT;HT Gabor在1946年为了得到一个实信号f(t)的解析信号形式而把Hilbert变换(HT)引入到了信号处理领域[1]。HT是信号处理中的一个重要的工具,它被广泛应用于各种领域,如调制理论、边缘检测以及信号处理中的滤波器设计等[2-3]。一个实信号通过HT可以和它的复信号联系在一起,也即经常所说的解析信号的形式,而解析信号的一个重要特点就是它没有负的频率成分,在边缘检测、滤波器的设计等应用领域[2-3]

论[2,4-

8]

的逐渐成熟与发展,Lohamnn等提出了分

[4]

数阶Fourier域的HT(FHT)的定义,并且证明这

种分数阶Fourier域的HT可以满足传统Fourier域中HT的一些基本性质;Zayed从FRFT的定义与性质出发,在文献[8]中提出了另一种形式的分数阶Fourier域的HT的定义,同时给出了基于这个定义的解析信号的定义与性质。

本文提出了线性正则变换(LCT)域中HT的定义,并给出了这种定义下解析信号的性质与特点,指出这种形式的HT和基于Fourier变换(FT)的HT

具有相类似的一些特点,同时,本文给出的定义也可

应用解析信号的这种性

质可以得到较好的处理效果。近年来,随着对HT研究的深入以及分数阶Fourier变换(FRFT)理

收稿日期:2004-12-20

828

兵 工 学 报

HA[f](t)=

exp(-j

+ -

第27卷

以看作是文献[8]中定义的进一步推广。

1 预备知识

1 1 HT

信号f(t)的HT定义为

H[f](t)=f(t)=

~~

2t)

+ -

f(x)exp(j

t-x

2)dx,

(7)

式中b 0,A是上节LCT中的参数矩阵。同时,给

dx,t-x

出LCT域中解析信号的定义

(1)

FA(t)=f(t)+jHA[f](t).

~

(8)

而信号f(t)的解析信号定义为

F(t)=f(t)+jf(t)=f(t)+jH[f](t).(2)解析信号的一个重要的性质就是其FT不包含有负的频率,并且有以下的关系式成立:

F(t)=

式中f^( )=

给出有关LCT域中的关于HT的有关定义以后,下面给出本文的2个重要结论。

定理1 假定FA(u)是信号f(t)的以参数矩

ab~

阵为A=的LCT,并且令HA(t)与FA(t)

cd

分别表示基于LCT推广的HT(LHT)和基于LCT的解析信号。则以下结论成立,FA(t)可以通过去掉信号f(t)的LCT负部而得到。并且有以下的关系式成立,

~

~

f^( )exp(jt )d ,(3)f(t)exp(-j t)dt表示信号2

0+ -

+

f(t)的FT.关于信号f(t)的FTf^( )和其HTH[f](t)的FTH^[f]( )之间所满足的另一个重要性质是

H^[f]( )=-jsgn( )f^( ).

1 2 LCT

信号f(t)的参数矩阵为A的LCT定义为LA[f](u)=

(4)

FA(t)=

F(u)K(u,t)du,

-2 F(u)K(u,t)du

2

+ 0

A

A

-1

b>0;b<0.

(9)

+ 0

A

A

-1

+ -

f(t)KA(t,u)dt,

2

u)f(du),2

b 0;b=0.

(5)

式中b 0.

证明 本定理的证明可以直接应用LCT的性质以及它的积分变换核的特点来得到,具体如下:

假定I=

dexp(j

式中:KA=

22

exp(ju-jut+jt);j2 b2bb2b

的定义式代入可以得到I=

ab

A=表示LCT的参数矩阵,并且满足关系

cd

式|A|=ad-bc=1.LCT满足其参数矩阵之间的可加性关系,即

LA1(LA2[f(t)])=LA1A2[f(t)],

(6)

同时,一些已经知道的在信号处理领域中应用效果较好的线性变换,如FT、FRFT、Fresnel变换,尺度变换等都可以看作是LCT的特殊情况[2-6],所以可以说LCT是一些传统变换的推广。由LCT的定义可以知道,当LCT的参数矩阵A中参数b=0时,LCT就退化为信号的尺度变换然后再乘以一个线性调频信号。

f(v)K

+ -

A

K(u,

(v,u)dvdu= f(v) K

+ 0

A

-1

+

FA(u)KA-1(u,t)du,把FA(u)

t)

A(

+ 0

+ -

v,

,所以

-c a有KA(v,u)KA-1(u,t)=

j2 bj2 (-b)

2

expjt2+u2-ut+u-2(-b)2(-b)(-b)2b22uv+v=expj-uv-t+b2b2 |b|b2b222v+=expjv-t-2bb2 |b|2ba(v-t)

+ +

u.所以I=f(v)dvexpj

2 |b|- 02bv2-t2-(v-t)udu=exp-j a2 |b|2b+

2+ 2

tf(v)expjvexp-(v-t)u

2bb- 0

u)KA-1(u,t)dvdu,而A-1=

d-b

+

2 LCT域HT定义与性质

2 1 定义与性质

通过考察LCT与FRFT之间的关系,定义线性(

e

dudv.总可以把

j

-[(v-t)u]

du表示为

第5期线性正则变换域的Hilbert变换829

+

exp-b(v-t)udu=2

+ -

(1+sgn(u))

exp(-j u)du=

2 ( )-,式中 =,所22+

以原式可以表示为I=exp-jt

2 |b|2b-

2+ f(v)expjvexp-(v-t)ud

udv=

2b0b

2+ 2

exp-jtf(v)expj 2 |b|2b2bv-

2FA( )expj =-jsgnFA( ).b2db定理得证。2 2 特殊情况

-1退化为传统的FT,容易验证本文所给出的定义就退化为传统的FT域中的HT.

时,原

-sin cosLCT退化为旋转角度为 的FRFT[5],直接应用本文的定理1、2可以得到和文献[8]给出的定理的相同结论,所以从这一方面来说,本文给出的定义是文献[8]中给出定义的一种推广。同时,由定理1、2可以看出在LCT域的HT定义中,参数矩阵A在满足|A|=ad-bc=1的条件下,参数b所起到的是与FRFT下的HT中的 的作用类似。因此,对于这种情况,通过参数b满足的条件可以进一步控制LCT域下HT的有关性质,在今后工作中可以更加深入的考察LCT的参数矩阵中其它参数在一些应用中所起到的作用。

3)当参数矩阵A中的b=0时,原LCT就简化为简单的尺度变换和线性调频信号的乘积,在这种情况下,为了使推广的HT也满足和FT域的相类似的性质,可以给出LCT域的HT为

HA[f](t)=

-jf(t),jf(t),

t 0;t<0.

(11)

2)当参数矩阵为A=

cos sin1)当参数矩阵为A=

01

时,原LCT就

-dv=f(t)+exp-j

bv-2|b|2bt2

+ 0

+ -

f(v)expj2

dv

t-v

=

{f(t)+2|b|

~

~

jHA[f](t)}=F(t),因此可以得到FA(t)=

2|b|A

F(u)K(u,t)du,-2 F(u)K(u,t)du,

2

A

A

-1

b>0;

定理得

b<0.

+ 0

AA

-1

证。

定理2 各个函数的定义如定理1,同时,参数矩阵A的元素满足a=d,则有以下关系式成立,

FA[HA[f]]( )=-jsgnbFA( ).

(10)

+

证明 令g(t)=

- 有HA[f](t)=exp-jt2g(t),FA[HA[f]]( )=

2b

2

f(x)expjdx,则

t-x

+ -

KA(t, )exp-j

2

tg(t)dt=2b

+ -

j2

b

不难验证,这时的定义在d 0的条件下,满足有关性质;在d<0的情况下,也可以作相应的处理来得到相同的结论。

222+

expjt-t + -t

2b2b2b-

2

f(x)exp+ dxdt=f(x)expjt-

j2 b- 2b

3 结论

本文在研究HT和FRFT以及LCT定义的基础上,由HT性质出发,给出了基于LCT的HT的一种定义,并指出了这种定义与传统FT域的HT有相类似的性质与特点;同时,本文所给出的LCT中的定义也可以看作是文献[8]中HT定义的进一步推广,这不仅丰富了LCT理论体系,也为今后在有关方面的应用打下了相应的理论基础。

参考文献(References)

[1] GaborD.Theoryofcommunication[J].JInstEE,1946,93

(26):429-457.

[ ieen-

( +x)j2 b

22

+ -

exp-jtdt

t-x

dx=

2

+ -

22

f(x)

expj2b( +x)

j2 b

-+ -

exp-jtdtdx=

x-t( +x)

2

+ -

f(x)expj

2b

dx=-jsgn

dx=-jsgn

-jsgnex-jbb

f(x)e

122

j( +x)-j

e

830

兵 工 学 报

(11):3084-3091.

第27卷

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简讯

东北三省五学会召开东北地区国防工业创新体制论坛

8月15日来自东北三省兵工学会、航空学会等五学会的百余名领导、科技人员和论文作者,聚集齐齐哈尔华安工业集团公司礼堂,隆重举行 东北地区国防工业创新体制论坛 。会上中国兵工学会副秘书长许毅达传达了全国科协工作会议精神,温家宝总理对全国科协工作者的殷切希望和五点要求。他在讲话中代表中国兵工学会,对东北国防科技工业创新体制论坛的召开,表示热烈的祝贺,并对如何加强科技创新提出了新的要求。

会议期间,来自三省五学会的9名优秀论文作者,密切结合本省和兵工企业的实际,采用多媒体的方式,宣读了自己的论文。这些来自基层的科技工作者,以其有理有据、针对性强,具有开拓创新精神的学术研究成果,启迪了大家的思路,受到了与会领导和同志们的热烈欢迎。论坛中提出的兵器工业和兵工企业面临的问题,以及如何全面落实科学发展观,走自主创新之路的论点,对于东北兵工企业的振兴具有很现实的指导意义。

(中国兵工学会秘书处)