线性正则变换域的Hilbert变换

第27卷第5期2006年9月兵工学报ACTAARMAMENTARIIVol.27No.5Sep.2006

线性正则变换域的Hilbert变换

李炳照1,2,陶然1,王越1

(1 北京理工大学信息科学技术学院,北京100081;2 北京理工大学数学系,北京100081)

摘要:Hilbert变换(HT)是信号处理中的一个重要的变换关系式,它被广泛应用于调制理论、边缘检测以及滤波器设计等方面,通过HT可以把一个信号与它的解析信号联系在一起;而线性正则变换(LCT)是Fourier变换(FT)、分数阶Fourier变换(FRFT)的进一步推广,是更一般形式的变换。给出LCT域中HT的定义,并指出这种LCT域中HT与传统的FT域的HT有类似的性质。 关键词:信息处理技术;Fourier变换;分数阶Fourier变换;线性正则变换;Hilbert变换 中图分类号:TN911 7

文献标志码:A

文章编号:1000-1093(2006)05-0827-04

HilbertTransformAssociatedwiththeLinearCanonicalTransform

LIBing-zhao1,2,TAORan1,WANGYue1

(1 SchoolofInformationScienceandTechnology,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China;

2 Departmentofmathematics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

Abstract:Hilberttransform(HT)isanimportantsignalprocessingtoolthatisusedinmanyapplica-tionssuchasmodulations,edgedetectionandfilterdesigninsignalprocessing.AnanalyticsignalanditsoriginalsignalareconnectedbytheHT.Atthesametime,thelinearcanonicaltransform(LCT)is

thegeneralizedformofFouriertransformandthefractionalFouriertransform,itcanbeconsideredasagenerallineartransform.ThedefinitionandpropertiesofHilberttransforminlinearcanonicaltrans-formdomainwereproposed.SomeimportantpropertiesofthiskindofHilberttransformweregiven,anditisshownthatthenewlydefinedHilberttransformhassomesimilarpropertieswiththeHilberttransforminthetraditionalFouriertransformdomain.

Keywords:informationprocessingtechnique;FT;FRFT;LCT;HT Gabor在1946年为了得到一个实信号f(t)的解析信号形式而把Hilbert变换(HT)引入到了信号处理领域[1]。HT是信号处理中的一个重要的工具,它被广泛应用于各种领域,如调制理论、边缘检测以及信号处理中的滤波器设计等[2-3]。一个实信号通过HT可以和它的复信号联系在一起,也即经常所说的解析信号的形式,而解析信号的一个重要特点就是它没有负的频率成分,在边缘检测、滤波器的设计等应用领域[2-3]

论[2,4-

8]

的逐渐成熟与发展,Lohamnn等提出了分

[4]

数阶Fourier域的HT(FHT)的定义,并且证明这

种分数阶Fourier域的HT可以满足传统Fourier域中HT的一些基本性质;Zayed从FRFT的定义与性质出发,在文献[8]中提出了另一种形式的分数阶Fourier域的HT的定义,同时给出了基于这个定义的解析信号的定义与性质。

本文提出了线性正则变换(LCT)域中HT的定义,并给出了这种定义下解析信号的性质与特点,指出这种形式的HT和基于Fourier变换(FT)的HT

具有相类似的一些特点,同时,本文给出的定义也可

应用解析信号的这种性

质可以得到较好的处理效果。近年来,随着对HT研究的深入以及分数阶Fourier变换(FRFT)理

收稿日期:2004-12-20

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兵 工 学 报

HA[f](t)=

exp(-j

+ -

第27卷

以看作是文献[8]中定义的进一步推广。

1 预备知识

1 1 HT

信号f(t)的HT定义为

H[f](t)=f(t)=

~~

2t)

+ -

f(x)exp(j

t-x

2)dx,

(7)

式中b 0,A是上节LCT中的参数矩阵。同时,给

dx,t-x

出LCT域中解析信号的定义

(1)

FA(t)=f(t)+jHA[f](t).

~

(8)

而信号f(t)的解析信号定义为

F(t)=f(t)+jf(t)=f(t)+jH[f](t).(2)解析信号的一个重要的性质就是其FT不包含有负的频率,并且有以下的关系式成立:

F(t)=

式中f^( )=

给出有关LCT域中的关于HT的有关定义以后,下面给出本文的2个重要结论。

定理1 假定FA(u)是信号f(t)的以参数矩

ab~

阵为A=的LCT,并且令HA(t)与FA(t)

cd

分别表示基于LCT推广的HT(LHT)和基于LCT的解析信号。则以下结论成立,FA(t)可以通过去掉信号f(t)的LCT负部而得到。并且有以下的关系式成立,

~

~

f^( )exp(jt )d ,(3)f(t)exp(-j t)dt表示信号2

0+ -

+

f(t)的FT.关于信号f(t)的FTf^( )和其HTH[f](t)的FTH^[f]( )之间所满足的另一个重要性质是

H^[f]( )=-jsgn( )f^( ).

1 2 LCT

信号f(t)的参数矩阵为A的LCT定义为LA[f](u)=

(4)

FA(t)=

F(u)K(u,t)du,

-2 F(u)K(u,t)du

2

+ 0

A

A

-1

b>0;b<0.

(9)

+ 0

A

A

-1

+ -

f(t)KA(t,u)dt,

2

u)f(du),2

b 0;b=0.

(5)

式中b 0.

证明 本定理的证明可以直接应用LCT的性质以及它的积分变换核的特点来得到,具体如下:

假定I=

dexp(j

式中:KA=

22

exp(ju-jut+jt);j2 b2bb2b

的定义式代入可以得到I=

ab

A=表示LCT的参数矩阵,并且满足关系

cd

式|A|=ad-bc=1.LCT满足其参数矩阵之间的可加性关系,即

LA1(LA2[f(t)])=LA1A2[f(t)],

(6)

同时,一些已经知道的在信号处理领域中应用效果较好的线性变换,如FT、FRFT、Fresnel变换,尺度变换等都可以看作是LCT的特殊情况[2-6],所以可以说LCT是一些传统变换的推广。由LCT的定义可以知道,当LCT的参数矩阵A中参数b=0时,LCT就退化为信号的尺度变换然后再乘以一个线性调频信号。

f(v)K

+ -

A

K(u,

(v,u)dvdu= f(v) K

+ 0

A

-1

+

FA(u)KA-1( …… 此处隐藏：4353字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……