上海交通大学线性代数B类试卷

一 单项选择题（每题3分，共18分） 1．设

为实矩阵,则线性方程组

只有零解是矩阵

为正定

矩阵的 （ ）

(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。 2．已知式

为四维列向量组，且行列，

，则行列 式

（ ）

(A) 40； (B) －16； (C) －3； (D) －40。 3．设向量组

线性无关，且可由向量组

线性表示，则以下结论中不能成立的是 （ ） (A) 向量组(B) 对任一个(C) 存在一个(D) 向量组

线性无关；

，向量组，向量组

与向量组

线性相关； 线性无关；

等价。

4．已知为阶可逆矩阵（的伴随矩阵，则 （ ） (A) 交换(C) 交换

的第1，2行得的第1，2列得

，

），交换的第1，2列得，为

； (B) 交换； (D) 交换

的第1，2行得的第1，2列得

； 。

5．设为阶可逆矩阵(A) (C)

为的伴随矩阵，则 （ ）

； 。

； (B) ； (D)

6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是

的基础解系的是（ ） (A) (B) (C) (D)

二 填空题（每题3分，共18分）

； ； ； 。

7. 已知列向量一个特征向量。

是矩阵 的对应特征值的

则＝ ，＝ ，＝ 。 8．设维列向量可逆,且 9．已知实二次型

的取值范围为________________。 10．设矩阵

，

，

是，且

中元素，则

的代数余子式。已知 。

，则

，其中

。已知矩阵

___ ______。

正定，则常数

11．设,，其中

矩阵，且

是非齐次线性方程组。 则线性方程组

的

解，已知为 的通解

为 。

12．设= 。

，已知相似于对角阵 ，则三 计算题（每题8分，共48分）

13．设，计算阶行列式 。

14．设线性方程组为 ，试问取何值时，此线性

方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。 15．设且

线性无关，

的通解。

，其中

为4阶方阵，其中

。已知向量

为4维列向量，

，

试求线性方程组16．已知

为阶矩阵，且满足

。

求矩阵。 17．已知

和

；

都是线性空间的基，下的坐标分别为和，且

，在基，

其中： ；。 （用

线性表示）。

。

，将化为标准型。

试求：(1) ；(2) 基18．设实二次型 求：正交变换

四 证明题（每题8分，共16分） 19．设矩阵

，试证明：

，使得，矩阵是阶矩阵,

，

的充分必要条件为秩满足

，则

。

；

(1) 存在矩阵(2) 若20．设

是的特征多项式。证明: 矩阵

可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。

参考答案

一 选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4．(B) 5.(A) 6.(C) 二 填空题 7．-1,-3,0； 8.

； 9.

； 10．；

11. 三 计算题 13. 14.

； 12.

。

。

无解；

唯一解；

无穷多解，

通解为 15.

。

，

线性无关，

16．

；

，解得 。

。

17．（1）

，

（2）

。

18．

；

四 证明题 19．(1) (2) 若因此

。

，则

，

，

，

有非零解只有零解，

； ，所以

，

。

20．设是矩阵的特征值，于是 故

， 行列式

都不是的特征值。