§3 函数极限存在的条件

1、 叙述函数极限limf(x)的归结原则,并用它证明limcosx不存在.

x→+∞

x→+∞

解:设f(x)定义在[a,+∞)上,则limf(x)存在的充要条件是:对任何数列{xn} [a,+∞),

x→+∞

且limxn=+∞,极限limf(x)都存在且相等.

x→+∞

x→+∞

证: 设xn=2nπ,xn=2nπ+

′″

π

2

(n=1,2,3, ),

则显然有xn=2nπ→+∞,xn=2nπ+

′″

π

2

→+∞(n→+∞),

′″

cosxn=1→1,cosxn=0→0(n→+∞)

故由归结原则知limcosx不存在.

x→+∞

2. 设f为定义在[a,+∞)上的递增函数,证明存在的充要条件是f在[a,+∞)上有上界. 证: 必要性. 由题设limf(x)存在,记为A,即limf(x)=A.

x→+∞

x→+∞

由局部有界性定理可得,存在U(+∞)=(b,+∞),使f(x)在U(+∞)上有界,即存在M与m,对任给x∈U(+∞),都有m≤f(x)≤M (1) .

又由f(x)在[a,+∞)上递增知:对任给x∈[a,b],有f(x)≤f(b+1)≤M(2). 由(1)(2)可得,对任一x∈[a,+∞),有f(x)≤M. 故f(x)在[a,+∞)上有上界.

充分性 设f(x)在[a,+∞)上有上界,则由确界原理知f(x)在[a,+∞)上有上确界. 设a=supf(x),则对任给正数ε,存在x0∈[a,+∞),

x∈[a,+∞)

又因f(x)在[a,+∞)上递增,从而当x>x0时,有A ε<f(x0)≤f(x)<A+ε. 因此当x>x0时, f(x) A<ε,故limf(x)=A.

x→+∞

3. (1)叙述limf(x)存在的柯西准则;

x→ ∞

(2)正面陈述极限limf(x)不存在的概念;并用它证明limsinx不存在.

x→ ∞

x→ ∞

解: (1)设f(x)在U( ∞)内有定义,则limf(x)存在的充分必要条件是:对任给的正数ε,总

x→ ∞

存在某一正数M,使得对任何x′< M,x′′< M,都有f(x′) f(x′′)<ε (2)设f(x)为定义在( ∞,a]上的函数,若存在正数ε0,对任给正数M,总存在x1、x2, 尽管x1< M,x2< M，而f(x1) f(x2)≥ε0，则称limf(x)不存在.

x→ ∞

以下用此定义证明limsinx不存在.

x→ ∞

取ε0=

π1

,对任给自然数n,取x1= nπ,x2= nπ , 22

1

于是x1< n,x2< n,而sinx1 sinx2=1>.

2

x→ ∞

故limsinx不存在.

4. 设f在U(x0)内有定义,证明:若对任何数列{xn} U(x0),且limxn=x0,极限

n→∞

limf(xn)都存在,则所有这些极限都相等.

n→∞

证: 对任意两个满足题设条件的数列{xn},{yn},设limf(xn)=A,limf(yn)=B,下证

n→∞

n→∞

A=B.

考虑数列{zn}:x1,y1,x2,y2, xn,yn, ,易见{zn} U(x0),且limzn=x0,

n→∞

则由题设limf(zn)存在,于是作为{f(zn)}的两个子列, {f(xn)}与{f(yn)}必有相同的

n→∞

极限,因而A=B.

由{xn},{yn}的任意性知结论成立.

5. 设f为U(x0)上的递增函数,证明f(x0 0)和f(x0+0)都存在, 且f(x0 0)=sup

0x∈U (x0)

f(x),f(x0+0)=inf0

x∈U+(x0)

f(x)

证: 仅证f(x0 0)的存在性及有关等式.

因f为U(x0)上的递增函数,则对x∈U+(x0),及任给x∈U (x0),有f(x)≤f(x). 由此可见f在U(x0)上有上确界,记A=sup

0*00*

f(x).

0x∈U (x0)

于是对任给正数ε,都存在x1∈U (x0),使f(x1)>A ε. 记δ=x0 x1>0,则当x∈U (x0,δ)时,就有x>x1, 从而由f在U (x0)上递增知A+ε>f(x)≥f(x1)>A ε. 可见, 当x∈U (x0,δ)时, f(x1) A<ε, 因此limf(x)存在且f(x0 0)=sup

x→x0

f(x)

f(x)

x∈U (x0)

同理可证f(x0+0)存在且f(x0+0)=inf0

x∈U+(x0)

6. 设D(x)为狄利克雷函数,x0∈(0,1),证明limD(x)不存在.

x→x0

证: 由第一章§3知D(x)= 取ε0=

1,当x为有理数 0,当x为无理数

10

,对任何δ>0,由有理数与实数的稠密性可知,在U(x0,δ)中必有有理数x′和无2

理数x′′，即x′∈U(x0,δ)，x′′∈U(x0,δ)使得D(x′)=1，D(x′′)=0， 于是有D(x′) D(x′′)=1>ε0， 从而由柯西准则知limD(x)不存在.

x→x0

7. 证明:若f为周期函数且limf(x)=0,则f(x)≡0.

x→+∞

证: 假设f(x)不恒等于0,则存在x0∈( ∞,+∞),使f(x0)≠0,

又因f为周期函数,不妨设周期为L>0,记an=x0+nL,则an→+∞ (n→∞), 由作法知limf(an)=f(x0)≠0 (1)

n→∞

又因limf(x)=0,由归结原则有limf(an)=0 (2)

x→+∞

n→∞

(1) 与(2)矛盾,故f(x)≡0.

8. 证明定理3.9.

定理3.9 设函数f在点x0的某个右邻域U+(x0)有定义,则极限limf(x)=A的充要条件+

x→x0

是对任何以x0为极限且含于U+(x0)的递减数列{xn}有limf(xn)=A.

n→∞

证: 必要性 设limf(x)=A,则对任给正数ε,存在正数δ,当0<x x0<δ时, +

x→x0

有f(x) A<ε.

设{xn}含于U+(x0)且递减趋于x0,则对上述正数δ,存在N,当n>N时, 便有0<xn x0<δ,于是,当n>N时, 便有f(xn) A<ε,故limf(xn)=A.

n→∞

充分性 (反证) 假设limf(x)≠A,则存在某一个正数ε0,不论正数δ多小.总存在一点x +

x→x0

尽管0<x x0<δ,但有f(x) A≥ε0. 设U+(x0)=(x0,x0+δ),则对δ1=对δ2=0

δ

2

,存在一点x1,使0<x1 x0<δ且f(x1) A≥ε0.

δ

22

,x1 x0},存在x2使0<x2 x0<δ2且f(x2) A≥ε0,x2<x1.

一般地,对取δn=δ

2n

,xn 1 x0},存在xn,使得0<xn x0<δ2

且f(xn) A≥ε0,xn<xn 1< <x2<x1.

这样的数列{xn},满足(1) xn∈U+(x0,δn),且xn+1<xn,n=1,2,3, (2) f(xn) A≥ε0,n=1,2,3,

由于x0∈U+(x0,δn),故有0<xn x0<δn≤

n→∞

δ

2

n

→0 (n→∞).

因此, limxn=x0.可见xn是以x0为极限的递减数列,且含于U+(x0),但limf(xn)≠A,

n→∞

矛盾.