2012高考数学二轮专题复习课件：第1讲 三角函数的图象与性质

专题二 三角函数与平面向量

2012高考数学二轮专题复习课件：第1讲 三角函数的图象与性质

第1讲 三角函数的图象与性质 讲

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◆对三角函数图象的考查主要表现在以下三个方面：(1)利用“五点法”作 出图象；(2)图象变换；(3)由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解析式. ◆三角函数的性质是高考的一个重点，它既有直接考查的客观题，也有综 合考查的主观题. ◆三角函数的图象和性质经常以向量为载体进行考查.

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1.(2011·课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线 y=2x 上，则 cos 2θ=( 4 A.- A 5 解析 答案 3 B.- B 5 3 C. 5 4 D. 5 ).

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 由题意知，tan θ=2,cos 2θ= 2 = =- . 5 cos θ+sin2θ 1+tan2θ B

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π 3.(2010·重庆)已知函数 y=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<2 的部分图象如图所示，

则(

). π 6 B.ω=1,φ=- π 6 π 6

A.ω=1,φ= C.ω=2,φ=

π 6

D.ω=2,φ=-

解析

T 7π π π 由图象知 = - = ,∴T=π,ω=2. 4 12 3 4

7π π ∵2× +φ=2kπ+π(k∈Z),∴φ=2kπ- (k∈Z). 12 6 π π 又|φ|< ,∴φ=- . 2 6 答案 D

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4.(2010·课标全国)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始 位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函 数图象大致为( ).

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解析

常规解法

π π 由题意知 P 2cos t-4 ,2sin t-4 ,

π ∴设 P 点到 x 轴的距离为 d,则 d=|y0|= 2sin t-4 ,当 t=0 时，d= 2,

π 当 t= 时，d=0,故选 C. 4 排除法 C. 答案 C π 当 t=0 时，d= 2,排除 A、D,当 t= 时，d=0,排除 B,故选 4

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π 5. (2011·课标全国)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) ω>0,|φ|<2 的最小

正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( π 0, 单调递减 A.f(x)在 2 π 0, 单调递增 C.f(x)在 2

).

π 3π B.f(x)在 4, 4 单调递减 π 3π D.f(x)在 4, 4 单调递增

解析

π ωx+φ+ . y=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)= 2sin 4

π 由最小正周期为 π 得 ω=2, 又由 f(-x)=f(x)可知 f(x)为偶函数， |φ|< 可知 φ 2 π π 0, 单调递减. = ,所以 y= 2cos 2x 在 2 4

答案

A

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π 5 6.(2011·全国)已知 α∈ 2,π ,sin α= ,则 tan 2α=________. 5

解析

π 5 2 5 ,π ,sin α= ,∴cos α=- 1-sin2α=- ∵α∈ 2 , 5 5

1 2× -2 1 2tan α 4 ∴tan α=- ,∴tan 2α= = =- . 2 3 1 1-tan2α 1- -2 2

答案

-

4 3

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利用诱导公式、同角三角函数关系式求值 k (1)

三角函数诱导公式 2π+α (k∈Z)的本质是：奇变偶不变(对 k 而言，指 k

取奇数或偶数),符号看象限(看原函数，同时把 α 看成是锐角). (2)同角三角函数的基本关系式： ①平方关系：sin2α+cos2α=1; sin α ②商数关系：tan α= . cos α

利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式 中是“奇变偶不变，符号看象限”;在同角三角函数的平方关系中，开方 后的符号也是根据角所在的象限确定的.

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三角函数的图象 (1)正弦、余弦、正切函数的图象. (2)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象及变换 由函数 y=sin x 到 y=Asin(ωx+φ)的图象变换：先将函数 y=sin x 的图象向 左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将其上各点的横坐标变为原来的 1 倍，最后将各点的纵坐标变为原来的 A 倍.也可以先进行周期变换再进行 ω φ 相位变换，但此时平移 ω 个单位长度.

(3)不论是由解析式作图象，还是由图象求解析式一般都采用“五点法”.

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三角函数的性质(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期 性、对称性) (1)三角函数的单调性是三角函数最核心的性质，求定义域、值域、最值问 题一般都与函数的单调性有关. 2π (2)对于函数 y=Asin(ωx+φ), 周期 T= , 其对称轴是函数取得最大值或最 |ω| π 小值时所对应的直线，可由 ωx+φ=kπ+ ,k∈Z 求出；其对称中心是函数 2 图象与 x 轴的交点， 可由 ωx+φ=kπ, k∈Z 求出； 只有当其可化为 y=±Asin x 或 y=±Acos x 时才具有奇偶性. 类似地，可得到函数 y=Acos(ωx+φ)的图象与性质.

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(1)函数 y=f(x)=Asin(ωx+φ)图象的相邻的两对称轴之间的距离是半个周 期，一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个 周期. (2)对称轴是一条直线，而不应写为一个值. (3)求三角函数的单调区间，别忘了写 k∈Z. (4)对于 y=Atan(ωx+φ)的图象与性质，需注意两点： π ①周期 T= ; |ω| kπ ②其图象只有对称中心而没有对称轴，并且对称中心为 2 ,0 ,k∈Z.

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三角函数的化简、求值

高考对本部分内容的考查，一般主要是小题，即利用三角函数 的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角 函数的图象及其性质进行求值、参数、值域、单调区间及图象判断等，而 大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三 角函数的关系的应用等.

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sin2α+sin 2α 3π 4 【例题 1】 设 π<α< ,sin α=- ,则 2 的值为( 2 5 cos α+cos 2α A.20 解析 B.-20 C.4 D.-4

).

3π 4 ∵π<α< ,sin α=- , 2 5

3 ∴cos α=

- 1-sin2α=- . 5 sin2α+sin 2α sin2α+2sin αcos α ∴ 2 = cos α+cos 2α cos2α+2cos2α-1 4 2 4 3 - +2× - - 5 5 5 = =20. 3 2 3 -5 -1

答案

A

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在三角函数求值类试题中，一般是先化简题目的已知条件或是 目标式，把已知和求解之间的关系明朗化后，再选择解决问题的方法.