高考资料

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学试题（文科）

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数y sin

2x 6 的最小正周期是( )

(A)

2

(B) (C) 2 (D) 4

2．设全集U 1,2,3,4,5,6,7 ,P 1,2,3,4,5 ,Q 3,4,5,6,7 ，则P CUQ ＝( ) (A) 1,2 (B) 3,4,5 (C) 1,2,6,7 (D) 1,2,3,4,5 3．点 1, 1 到直线x y 1 0的距离是( ) (A)

12 (B)3

2

(C)2

(D)2

4．设f x x x，则f f 1 2

＝( )

(A) 1 (B)0 (C)

1

22

(D) 1 5．在 1 x 5

1 x 6

的展开式中，含x3的项的系数是( ) (A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 10

6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：

则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37

7．设 、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l ,m ，有如下的两个命题：

①若 ∥ ，则l∥m；②若l⊥m，则 ⊥ ．

那么

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题

8．已知向量 a x 5,3 , b 2,x ，且 a

b，则由x的值构成的集合是(

)

(A) 2,3 (B) 1,6 (C) 2 (D) 6 9．函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a ( )

(A)1 (B)

184 (C)1

2

(D)1 10．设集合A x,y |x,y,1 x y是三角形的三边长

，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

11．函数y x

x 2

x R,且x 2 的反函数是_________． 12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面

高考资料

BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．

13．过双曲线x2y2

a2 b

2 1 a 0,b 0 的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交

于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．

12．从集合 P,Q,R,S 与 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．

三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．已知函数f x 2sinxcosx cos2x． (Ⅰ) 求f

4

的值； (Ⅱ) 设

0, f

2 ，求sin 的值．

16．已知实数a,b,c成等差数列，a 1,b 1,c 4成等比数列，且a b c 15，求a,b,c．

17．袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

13

，从B中摸出一个红球的概率为p．

(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．

(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2

5

，求p的值．

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝1

2

PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

(Ⅱ) 求直线OD与平面PBC所成角的大小．

19．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．

20．已知函数f x 和g x 的图象关于原点对称，且f x x2 2x． (Ⅰ)求函数g x 的解析式； (Ⅱ)解不等式g x f x x ；

高考资料

(Ⅲ)若h x g x f x 1在 1,1 上是增函数，求实数 的取值范围．

数学试题（文科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

（1）B （2）A （3）D （4）D （5）C （6）A （7）D （8）C （9）B （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。 （11）y

2x

1 x

x R,且x 1 ；（12）90 ；（13）2；（14）5832 三、解答题：

（15）本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。满分14分。

解：(Ⅰ)∵f x sin2x cos2x

∴f

4

sin2 cos 2 1

(Ⅱ)

f

2

cos sin

∴sin 1

4 2,cos

4

sin sin

1

4 4 2 ∵ 0， ， ∴sin 0，

故sin （16）本题主要考查等差、等比数列的基本知识考查运算及推理能力。满分14分。 解：由题意，得

a b c 15

1 a c 2b 2

a 1 c 4 b 1 2

3 由（1）（2）两式，解得b 5 将c 10 a代入（3），整理得 a2

13a 22 0解得a 2或a 11,

故a 2,b 5,c 8或a 11,b 5,c 1.

经验算，上述两组数符合题意。

（17）本题主要考查排列组合、相互独立事件同时发生的概率等基本知识，同时考查学生的逻辑思维能力。满分14分。

32

解：(Ⅰ)（ⅰ） C3 1 2 405 3 3

243.

（ⅱ） 1

3

1 3

27.

(Ⅱ)设袋子A中有m个球，袋子B中有2m个球， 1

m 2mp由213

3m 5，得p 30

（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分14分。

解：方法一：

(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点，

OD∥PA

又PA 平面PAB OD∥平面PAB

(Ⅱ) AB BC，OA OC，

C

OA OB OC，又 OP 平面ABC PA PB PC.

取BC中点E，连结PE，则BC 平面POE作OF PE于F，连结DF，则OF 平面PBC

ODF是OD与平面PBC所成的角.

在Rt ODF中，sin ODF

OFOD OD与平面PBC所成的角为方法二：

高考资料

OP 平面ABC，OA OC，AB BC， OA OB，OA OP，OB OP.

以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O xyz

如图 ，设AB a，则A2,0,0 ,B ,0 , 2 C,0,0 2 .

设OP h，则P 0,0,h .

Ⅰ D为PC的中点，

OD ,0,1h , 又 PA ,0, h ， 2 OD 1 PA

. OD ∥

2

PA. OD∥平面PAB.

Ⅱ PA 2a,

h,

OD a 44 ,

可求得平面PBC的法向量 n 1,1

,

cos OD , n OD nOD n设OD与平面PBC所成的角为 ，

则 sin cos OD , n OD与平面PBC所成的角为（19）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。

解：(Ⅰ)设椭圆方程为x2y2

a2 b

2 1 a b 0 ，半焦距为c，则

a2

MA1 c a,A1F1 a c

a2

c a 2

a c 由题意,得

2a 4

a2 b2 c2

a 2,b c 1

x2y2

故椭圆方程为4 3

1.

(Ⅱ)设

P 4,y0 ,y0 0

设直线PFkyPFy

1的斜率1 0,直线2的斜率k2 0

35

0 FPF

12 PFM1

2

, FPF1

为锐角。

tan FPF12

k2 k11 k 2y015 1k2y20 15

当y0y0=tan FPF12取到最大值，此时 FPF12最大，故 FPF12的最大值为（16）本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分14分。

解：(Ⅰ)设函数y f x 的图象上任意一点Q x0,y0 关于原点的对称点为P x,y ，则

x0 x

0, 2

x0 x, y0

y即

y y. 2

0, 0

∵点Q x0,y0 在函数y f x 的图象上 ∴ y x2 2x，即y x2 2x, 故g x x2

2x

(Ⅱ)由g x f x x ， 可得2x2

x 0

当x 1时，2x

2

x 1 0，此时不等式无解。

当x 1时，2x2

x 1 0，解得 1 x 12

。

因此，原不等式的解集为 1,1 2

。

高考资料

（Ⅲ）h x 1 x2 2 1 x 1

①当 1 时，h x 4x 1在 1,1 上是增函数，

1

②当 1时，对称轴的方程为x ⅰ）当 1时1

. 1

1

1,解得 1. 1 1

ⅱ）当 1时 1,解得 1 0.

1

综上， 0.