唯一目的就是大家能一起共享资源,感恩他人

第二章

初等模型

2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途

2.3 双层玻璃窗的功效2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛

2.8 启帆远航2.9 量纲分析与无量纲化

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2.1问 题

公平的席位分配

三个系学生共200名(甲系100,乙系60,丙系40),代表 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 若增加为21席，又如何分配。

系别 学生 比例

20席的分配 结果 10 6 4 10.3 6.3 3.4

21席的分配

比 例 加 惯 例

人数 (%) 比例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0

总和 200

100.0

20.0

20

对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21

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―公平”分配方 法 人数 席位A方 B方 p1 p2 n1 n2

衡量公平分配的数量指标当p1/n1= p2/n2 时，分配公平

若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平

p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度

p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10p1/n1– p2/n2=5 虽二者的绝对 不公平度相同

p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的不公平 程度已大大降低!

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―公平”分配方 法

将绝对度量改为相对度量

若 p1/n1> p2/n2 ,定义

p1 / n1 p2 / n2 rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2类似地定义 rB(n1,n2)公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即 设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对A不公平

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应讨论以下几种情况

初始 p1/n1> p2/n2

1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , 应计算rB(n1+1, n2) 3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!

若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

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当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给ArA, rB的定义

2 2 p2 p1 该席给A n2 (n2 1) n1(n1 1)定义 Qi 2 pi

否则, 该席给B

ni (ni 1)

, i 1,2, 该席给Q值较大的一方2 pi

推广到m方 分配席位

计算 Qi

ni (ni 1)

, i 1,2, , m

该席给Q值最大的一方

Q 值方法

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三系用Q值方法重新分配 21个席位按人数比例的整数部分已将19席分配完毕甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3

用Q值方法分配 第20席和第21席

1032 632 342 96.4, Q2 94.5, Q3 96.3 第20席 Q1 10 11 6 7 3 4

Q1最大，第20席给甲系1032 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 11 12Q值方法 分配结果

Q3最大，第 21席给丙系

甲系11席，乙系6席，丙系4席

公平吗？

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进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？

席位分配的理想化准则已知: m方人数分别为 p1, p

2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N), ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi

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qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2) Q值方法满足 2), 但不满足 1)。令人遗憾！

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2.2 录像机计数器的用途问 题经试验，一盘标明180分钟的录像带 从头走到尾，时间用了184分，计数 器读数从0000变到6061。

在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目？

思考要求

计数器读数是均匀增长的吗？不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。

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观察

计数器读数增长越来越慢！

问题分析 录像机计数器的工作原理左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 0000 计数器

录像带运动方向录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢

录像带运动速度是常数

右轮转速不是常数

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模型假设 录像带的运动速度是常数 计数器读数

v;

n与右轮转数 m成正比，记 m=kn; w;

录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 空右轮盘半径记作 时间

r;

t=0 时读数 n=0 .建立时间t与读数n之间的关系 (设v,k,w ,r为已知参数)

建模目的

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模型建立建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以

2 (r wi) vti 1

m

m kn

t

wkv

2

2 rk n n v2

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模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录像带厚度 乘以转过的长度，即2 2

3. 考察t到t+dt录像带在 右轮盘缠绕的长度，有

[(r wkn) r ] wvt (r wkn)2 kdn vdtt

wkv

2

2 rk n n v2

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思 考m i 1

3种建模方法得到同一结果

2 (r wi ) vt [(r wkn) r ] wvt2 2

t

wkv

2

(r wkn)2 kdn vdt

2 rk n n v2

但仔细推算会发现稍有差别，请解释。

思 考

模型中有待定参数

r , w, v, k ,

一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。

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参数估计 另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作 t an bn ,2

只需估计 a,b

理论上，已知t=184, n=6061, 再有一组(t, n)数据即可

实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合

现有一批测试数据： 用最小二乘法可得

t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051

60 2760 160 5525

80 3413 184 6061

a 2.61 10 , b 1.45 10 . 2

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