微积分基本定理及其生活应用

深大师院二附校 唐丽

微积分基本定理及其生活应用

一、教材分析 地位、作用： ⒈ 地位、作用：欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 欧洲数学家们冲出了古希腊人“严格证明” 的圣殿，以直观推断的思维方式， 的圣殿，以直观推断的思维方式，创立了被恩 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 格斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学， 微积分基本定理正是它的核心！ 微积分基本定理正是它的核心！

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2.教学重点、难点分析： 教学重点、难点分析： 重点： 重点： 通过探究变速直线运动物体的速 度与位移的关系， 度与位移的关系，发现微积分基本定理的雏 进而把结论一般化,是这节课的重点. 形，进而把结论一般化,是这节课的重点. 难点：进一步引导学生应用定积分的基 难点： 本思想来探究问题， 本思想来探究问题，同时利用导数的意义作 为桥梁来转化被积函数是这节课的难点。 为桥梁来转化被积函数是这节课的难点。

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⒊教学目标分析： 教学目标分析： 知识目标：使学生经历定理的发现过程， 知识目标：使学生经历定理的发现过程，直观了解微积分基本定理的含义和几何意义， 观了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理 解导数与定积分的互逆关系； 解导数与定积分的互逆关系；通过计算两个简单 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 的定积分，使学生体会微积分基本定理的优越性， 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。 理解微积分在数学史上举足轻重的地位。

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能力目标： 能力目标： 让学生能够体会微积分运动变化地思维 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 方式和初等数学中静态的思维方式的区别， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 并且培养学生在探索过程中善于变通的思想， 敢于挑战陈规的精神! 敢于挑战陈规的精神!

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情感目标： 情感目标： A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲。 激发学生的求知欲。 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退 体会“以直代曲” 临渊羡鱼， 临渊羡鱼 而结网的思想。 而结网的思想。 C 感受用近似无限接近精确的方法。 感受用近似无限接近精确的方法。

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⒋教学方法和手段： 教学方法和手段： 尽管已是高中学生， 尽管已是高中学生，但抽象的概念依然 令学生望而生畏， 令学生望而生畏，因此着眼于个别实例的研 究，强调来龙去脉，淡化证明过程。学生既 强调来龙去脉，淡化证明过程。 不用面对极限、无穷项求和、导数、 不用面对极限、无穷项求和、导数、积分综 合难题的证

明， 合难题的证明，又不失为良好的推导微积分 基本定理的过程。 基本定理的过程。

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二、学情分析： 学情分析：⒈ 根据函数曲线图学生不难看出位移差s = s ( b ) s (a )

⒉由于学生刚学习了导数，知道导数的几何 由于学生刚学习了导数， 意义即为切线的斜率,路程对时间的导数即为 意义即为切线的斜率 路程对时间的导数即为 速度 s′( t ) = v( t )

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二、学情分析： 学情分析：汽车行驶的路程” ⒊ 上一节中刚学习了“汽车行驶的路程”,学 生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 生明白路程的计算实际上是一个求定积分的过程， 的定积分。 即对 v ( t ) 的定积分。⒋ 让学生再一次感受小区间不断细分对近似程度 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。 的影响，如何通过逐步逼近而求出定积分。

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教学过程： 教学过程：追根溯源： ⒈引题——追根溯源：公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术” 公元3世纪诞生的刘徽著名的“割圆术”

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教学过程： 教学过程：⒉情景设置： 情景设置： ①首先让学生回顾计算 ∫ x1 0=

3

dx 的过程： 的过程：

∫

x dx ≈ lim ∑ 0 n → ∞ i =13n

1

n

i f ( ) x n3

i 1 = lim ∑ ( ) n →∞ n i =1 n

1 1 2 1 = lim (1 + ) = n →∞ 4 n 4

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教学过程： 教学过程：②接着动手利用定义计算 ∫12

∫

2

1

n 1 dx = lim ∑ f ( i ) x n x n →∞ i =1 n 1 1 = lim ∑ n →∞ i n i =1 n

1 dx x

③重复以上步骤学生遇到 了麻烦；引导学生分析原因： 了麻烦；引导学生分析原因：

和式难求. 和式难求.

=

1 4 5 1 = lim ∑ ④当被积函数是 x , x , x 3 n →∞ i =1 i 如何求呢？ 1 1 1 如何求呢？ = lim(1 + + + + ) n →∞ 2 3 n

n

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问题模型： ⒊探究——问题模型： 探究 问题模型如图， 如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律 由导数的概念可知，它在任意时刻t 是 s = s (t ) 由导数的概念可知，它在任意时刻t的速=

度是 v (t ) = s ′(t ) 。设这个物体在时间段[a, b] 内的位 移为S 表示S 移为S,你能分别用 v (t ) , (t ) 表示S吗？ s

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观察图象得到物体的位移s 观察图象得到物体的位移s,即

s = s (b) s (a )

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分析:下面我们讨论如何用速度函数v(t)来表示位 来表示位 下面我们讨论如何用速度函数 移s,因为在上一节“汽车行驶的路程”中，学 ，因为在上一节“汽车行驶的路程” 生知道了位移就是对速度函数v(t)的定积分，在 的定积分， 生知道了位移就是对速度函数 的定积分 此学生肯定会联想到只要知道了v(t), 不就解决了 此学生肯定会联想到只要知道了 吗？但是题目已知的只是路程函数s(t), 因此接 但是题目已知的只是路程函

数s(t), 下来的关键在于建立v(t)与s(t)的关系。下面分 与 的关系。 下来的关键在于建立 的关系 下面分8 个步骤来讨论： 个步骤来讨论：

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hi = li sin α i

通过讨论发现山高

l

i

那么把所有 hi累加起来 不正好就是山的高度吗？ 不正好就是山的高度吗？

αi以研究这小段山高为例： 以研究这小段山高为例：)

∑

n

i =1

hi

问题1能否把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题1能否把一小段的山高近似地看作一个直角三角形呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题2 假设是直角三角形，那么斜边如何构造呢？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？ 问题3 在这个直角三角形种哪些量是已知或可求的？