三校

2014届十二月联考

数学试卷（理科）

满分150分，考试时间为120分钟

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的. （1）已知a,b,c,d为实数，且c d. 则“a b”是“a c b d”的 （ ）.

（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件w

（2）已知f(x) x2 2xf (1)，则f (1)等于 ( ). （A）4 （B）－2 （C）0 （D）2

（3）一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一

个容量为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) . （A）16 （B）14 （C）12 （D）10

（4）已知{an}是等差数列,若a1 a9 10,a4 3,则数列{an}的公差等于 （ ）.

（A） 1 （B）1 （C）2 （D）3

（5）已知lga lgb 0，则函数f(x) ax与函数g(x) logbx的图象可能是 （ ）

.

（6）动圆M过定点A且与定圆O相切，那么动圆M的圆心的轨迹是 （ ）.

（A）圆，或椭圆 （B）圆，或双曲线，

（C）椭圆，或双曲线，或直线 （D）圆，或椭圆，或双曲线，或直线

x y 3 0

（7）已知直线y 2x上存在点(x,y)满足约束条件 x 2y 3 0， 则实数m的取值范围

x m

是 （ ）. （A）( , 1] （B）[ 1, ) （C）[2, ) （D）( ,1]

（8

AOB的圆心角为120，点C在»AB

uuuruuruuur

上，且 COB 30，若OC OA OB，则 ( ).

（A

（B

（C

（D

）（9

y 2m 0与圆x2 y2 n2相切，其中m,n N*，且n m 5，则

满足条件的有序实数对(m,n)共有的个数为 ( ). （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（10）设f x 是定义在R上的偶函数,且当x 0时,f(x) ex.若对任意的x [a,a 1],不

等式f x a f(A)

2

x 恒成立,则实数a的最大值是 （ ）.

323

(B) (C) (D) 2 234

1

2

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）已知一元二次不等式f(x) 0的解集为 {x|x 1,或x }，

则不等式f(lgx) 0的解集为 .

（12）如图，直角VPOB中， PBO 90 ，以O为圆心、OB为

半径作圆弧交OP于A点．若圆弧»AB等分VPOB的面积， 且 AOB 弧度，则

2

tan

2

= .

2

（13）在 ABC中,sinA sinB sinC sinBsinC，则A的取值范围是________.

[]（14）设[x],y分别表示不大于x,y的最大整数，如[1.3] 1,[ 0.3] 1.则集合

S {(x,y)|[x]2 [y]2 1}表示的平面区域的面积为 .

（15）对于平面直角坐标系内任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义它们之间的一种“折线距

离”：d(A,B) |x2 x1| |y2 y1|．则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)

①若A -1,3 ，B 1,0 ，则d(A,B) 5；

②若点C在线段AB上，则d(A,C) d(C,B) d(A,B)； ③在 ABC中，一定有d(A,C) d(C,B) d(A,B)；

④若A为定点，B为动点，且满足d(A,B) 1，则B点的轨迹是一个圆；

⑤若A为坐标原点，B

在直线2x y 0上，则d(A,B

).

三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写

在答题卡上的指定区域内. （16）（本小题满分12分） 已知函数f(x) cos(x

2

1

) 1，g(x) sin2x. 122

（Ⅰ）设x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； （Ⅱ）求函数h(x) f(x) g(x)的值域.

（17）（本小题满分12分）

前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；

（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；

（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及数学期望．

（18）（本小题满分12分）

已知a,b是不相等的正常数，实数x,y (0, ).

a2b2(a b)2

（Ⅰ）求证：，并指出等号成立的条件；

xyx y

（Ⅱ）求函数f(x)

（19）（本小题满分12分）

211

,x (0,)的最小值，并指出此时x的值． x1 2x2

x2y2

已知椭圆C:2 2 1(a b 0)，直线x y 0经过椭圆C的上顶点B和左

ab

焦点F，设椭圆右焦点为F . （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上动点,求

|4 (|PF | |PB|)|的取值范围,并求取最小值时

点P的坐标.

（20）（本小题满分13分） 已知函数f(x) 2x2 alnx．

（Ⅰ）若a 4，求函数f(x)的极小值；

（Ⅱ）试问：对某个实数m，方程f(x) m cos2x在x (0, )上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由.

（21）（本小题满分14分）

设n N，圆Cn：x y Rn(Rn 0)与y轴正半轴的交点为M

，与曲线y 为N(,yn)，直线MN与x轴的交点为A(an,0).

(Ⅰ)用n表示Rn和an； (Ⅱ)求证：an an 1 2；

*

222

1n

(Ⅲ)设Sn

7Sn 2n31

,，求证： .aT in

5Tn2 i 1i 1i

nn

理科数学参考答案

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x|1 x ； 12.2； 13. (0, ]； 14. 5； 15. ①②⑤.

310

三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指

定区域内.

（16）（本小题满分12分） （Ⅰ）由题知

所以2x0

f(x)

1 1

cos(2x ) ，因为x x0是函数y f(x)图象的一条对称轴， 262

6

k (k Z)，即2x0 k

6

(k Z)， 3分

故

g(x0)

1 111

sin2x0 sin(k )，当k为偶数时，g(x0) sin( ) ，

264226

2

6

4

当k为奇数时，g(x0) 1sin 1； 6分 （Ⅱ）由题知h(x)

f(x) g(x)

1 11

cos(2x ) sin2x 2622

1 11111 1

[cos(2x ) sin2x] 2x sin2x) sin(2x ) ， 10分 262222232

所以h(x)的值域为[ 1,0]. 12分 （17）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； 3分 （Ⅱ）设

Ai表示所取

3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件

A，则

312

C12C4C12121 ； 7分

P(A) P(A0) P(A1) 3 3

140C16C16

（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3.

27； 327；1132

P( 1) C3() P( 0) ()3

4464464

13911.

；P( 3) ()3 P( 2) C32()2

4464464

ξ的分布列为：

所以E

0

27 1 2 3 0.75. 12分 64646464

另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则

1113

~B(3,)，P( k)

C3k()k()3 k. 所以E =3 0.75．

4444

（18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为a,b是不相等的正常数，实数x,y (0, )，应用均值不等式，得：

a2b2ya2xb22222

a b ( )(x y) a b

xyxya2b2(a b)2

， 5分 a b 2ab (a b)，即有

xyx y

2

2

2

当且仅当

abya2xb2

，即

xyxy

时上式取等号； 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

2212(2 1)2

f(x) 9， 10分

2x1 2x2x (1 2x)

当且仅当

211 ，即x 时上式取最小值，即f(x)min 9． 12分

32x1 2x

（19）（本小题满分12分） （Ⅰ）依题意,B(0 , 1),F(

3 , 0), 所以b 1,c ,a b2 c2 2， 3分

x2

y2 1 5分 所以椭圆的标准方程为4

（Ⅱ）由椭圆定义知|PF

| 4 |PF |，则|4 (|PF | |PB|)| ||PF| |PB||， 7分

而0 ||PF| |PB|| |BF|,当且仅当|PF| |PB|时,||PF| |PB|| 0 ,

当且仅当P是直线BF与椭圆C的交点时,

||PF| |PB|| |BF|=2，

所以|4 (|PF | |PB|)|的取值范围是[0 , 2]． 9分

m2

n2 1设P(m , n),由|PF| |PB|得m n 1 0 , 由 , 4

3m n 1 0

8 m 0 m 8311 . 12分 解得 或 13 ,所求P(0 , 1)和P( , ) n 11313 11

n 13

（20）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）定义域为(0, )，由已知得

44(x2 1)

， 2分 f(x) 4x

xx

'

则当0 当x

x 1时f'(x) 0， f(x)在(0,1)上是减函数，

1时f'(x) 0， f(x)在(1, )上是增函数，

故函数

f(x)的极小值为f(1) 2． 5分

（Ⅱ）假设方程设F(x) 2x则F

'

f(x) m cos2x在x (0, )上存在三个不相等的实根，

2

alnx cos2x m，由于F(x)在x (0, )上图象连续不断，

a

2sin2x(x 0)有两个不同的零点． 8分 x

(x) 4x

2

即a 4x

'

2xsin2x(x 0)有两个不同的解，设G(x) 4x2 2xsin2x(x 0)，

则G(x) 8x 2sin2x 4xcos2x 2(2x sin2x) 4x(1 cos2x)，

设h(x) 2x sin2x，则h(x) 2 2cos2x 0，故h(x)在(0, )上单调递增， 则当x

'

0时h(x) h(0) 0，即2x sin2x， 11分

0，则G'(x) 0故G(x)在(0, )上是增函数，

又1 cos2x则a 4x

2

2xsin2x(x 0)至多只有一个解，

故不存在． 13分 （21）（本小题满分14分）

1, y

N(n121n 12

,R 又点在圆C

n上，则Rn () 2分 n2

nnn解：(Ⅰ)由点N

在曲线

从而MN的方程为

11xy

1,

在MN上得

: 1,

由点N(anRnnann 5分

将Rn

1代入化简得

: an 1 n(Ⅱ

) 1

1 1, n N*,an

n1 1 2

7分

n，

又

1

11 a 1 11 1a ， 1

nn 1

nn 1nn 1所以

an an 1

2； 9分

x 1时

,1 1)

x 1

(Ⅲ)先证:当0

不等式1 x

.

2

1)x 1

2

2

xx [1

1)x]2 1

x (1 )2 22

x

2x222

1 1)x

1)x 1 x 1 x 3)x 1)x 0

44

后一个不等式显然成立,而前一个不等式 故当0

x2

x 0 0 x 1

.

x

成立. 2

x 1时,

不等式1 1)x 1

11

， 12分 1

1)

1

n2n113

(等号仅在n 1时成立) 2 an 1 2

nn2n

求和得: 2

n

3

Tn Sn 2n Tn

2

S 2n37

n ． 14分 5Tn2