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第9讲 函数的应用

【2013年高考会这样考】

1．考查二次函数模型的建立及最值问题． 2．考查分段函数模型的建立及最值问题．

3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题． 【复习指导】

函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题．

基础梳理

1．常见的函数模型及性质

一个防范

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特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤

数学本质；

(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)从1999年11月1利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1138.64元，则该存款人的本金介于( )． A．3～4万元 C．5～6万元

B～

1 386 400

＝34 660. 40

解析 设存入的本金为x，则138.64，∴x＝答案 A

2．(2012·新乡月考)y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时()的最低产量是( )． A．100台 120台 C．150台 D．180台

解析 设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，∴x≥150. 答案 C

3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．

A．1 000米2

B．2 000米2

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C．2 500米2 D．3 000米2

解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如图，则4x＋3y＝200，200－4x

又矩形场地的面积S＝3xy＝3x3x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500，∴当x＝25时，Smax＝

2 500.

答案 C

4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为，级为__________级；9级地震的最大振幅是5________倍． 解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以95级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 000

5．(2012·东三校联考)

加密明文――→密文――→明文

已知加密为x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案 4

考向一 一次函数、二次函数函数模型的应用

【例1】 (2011·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)

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＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．

(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差． [审题视点] 列出函数解析式，根据函数性质求最值． 解 (1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x)

＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2 500x－4 000，

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]2＋2 500x－ 4 000)＝2 480－40x.

(2)P(x)＝－

当x＝62或因为MP(x)所以当x＝1

71 680元.

数的最值，一定要注意自变量的取值解．

【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为1

g(t)＝2＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)． (1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值． 解 (1)根据题意，得

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1 －2t＋200 2t＋30 ，1≤t≤30，t∈N， S＝

45 －2t＋200 ，31≤t≤50，t∈N

2

－t＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N，＝ －90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.

(2)①当1≤t≤30，t∈N时， S＝－(t－20)2＋6 400，

∴当t＝20时，S的最大值为6 400； ②当31≤t≤50，t∈N时， S＝－90t＋9 000为减函数， ∴当t＝31时，S的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，

∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.

考向二

【例2】 y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)y与t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？

[审题视点] 根据图象用待定系数法求出函数解析式，再分段求出时间长． kt，0≤t≤1，

解 (1)设y＝ 1 t－a

，t＞1. 2

当t＝1时，由y＝4得k＝4，

4t， 0≤t≤1， 1 由 21－a＝4得．a＝3.则y＝ 1 t－3 ，t>1. 2

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t＞1， 0≤t≤1，

(2)由y≥0.25得 或 1t－3

4t≥0.25， ≥0.25. 2

1

解得16≤t≤5，

179

因此服药一次后治疗有效的时间是5－1616

可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化

为解不等式问题进行求解．

【训练2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年) (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120(1年)；

(4)如果20年后该城市人口总数不超过少？

(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈解 (1)1 y＝100＋100×1.2%＝×＋1.2%) 2y＝100×(1×(1＋1.2%)×1.2% ＝100×(1＋2. 3年后该城市人口总数为

y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2% ＝100×(1＋1.2%)3.

x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x＝120，

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120

x＝log1.012100log1.0121.20≈16(年)．

(4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg 1.20.079

＝0.079，所以lg(1＋x%)≤200.003 95， 所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%.

a

考向三 函数y＝x＋x模型的应用

【例3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用)与隔热k层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤

3x＋5 (1)(2) [ 解

(2)f(≥2

800

即x＝5时等号成立． 3x＋5

当且仅当6x＋10＝

所以当隔热层为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．

a

求函数解析式同时要注意确定函数的定义域，对于y＝x＋xa>0)类型

的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，否则要考虑使用函数的单调性．

【训练3】 某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，

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沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 800

解 设温室的左侧边长为x mxm. ∴蔬菜种植面积

800 1 600

y＝(x－4) x2 ＝808－2 x＋x (4<x<400)．

1 600

∵x＋x≥2

1 600

xx＝80，

∴y≤808－2×80＝648(m)2. 1 600

当且仅当x＝xx＝40， 800

此时x＝20 m，y最大＝648(m2)．

∴当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为时，蔬菜的种植面积最大，为648 m2

.

规范解答5

(【问题研究】 ., 1 列函数关.这, 2 列出解析式，在求最优解的过程中，.,

【解决方案】 1 阅读理解，审清题意.读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述部分所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题., 2 根据所给模型，列出函数关系式.根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题., 3 利用数学的方法将得到的常规函数问题 即数学模型 予以解答，并求得结果., 4 将所得结果代入原问题中，对具体问题进行解答.)

【示例】 (本题满分12分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流

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密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时

)

首先求函数v(x)为分段函数，然后利用一元二次函数配方法或基本不

等式求解．

[解答示范] (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

200a＋b＝0，再由已知，得

1a＝－， 3解得

故函数v(x)(2)当0≤x≤20故当x＝20

(4分)

(6分)

10 000

＝当20＜x≤333当且仅当x＝2002 －x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值

10 000

3.(10分)

10 000

3≈3 333，即当车流密

度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分)

对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后再

比较大小．另外在利用均值不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也

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可通过函数的单调性求解最值．

.

.