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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性相对稳定性——稳定裕量ImG0 ( jω g )

幅值裕量 相角裕量Imωc -1 γ

kg-1 ω gωc

Re γ

ωg

Re

kgG 0 ( jω g )

幅值穿越频率 相位穿越频率

ωc ωg

G 0 ( jω c ) = 1 Φ( jω g ) = 1800

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

为负值

γ = 1800 + Φ( ωc ) = 1800 + ∠G0 ( jωc ) 相角裕量 γ > 0 系统稳定 γ ≤ 0 系统不稳定幅值裕量

1 k g = 20 lg = 20 lg G0 ( jω g ) G 0 ( jω g ) k g > 0 系统稳定 k g ≤ 0 系统不稳定

为满足动态性能的要求，相角裕量在300~700 幅值裕量在5~15dB

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

Bode图与Nyquist图的对应关系： 1,Nyquist图上的单位园 — Bode图幅频特性上的0dB线 2,Nyquist图上的负实轴 — Bode图相频特性上的-1800线 L(ω) — 幅频特性曲线 用开环Bode图判系统稳定： Φ(ω) — 相频特性曲线 1,若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc) > -1800,则闭环系统稳 定，否则不稳定。 2,若Φ(ω)穿越-1800线时，L(ωg) < 0,则闭环系统稳定， 否则不稳定。

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

L( ω) dB0 dB

L( ω ) dB

ωc

ωrad / s

0 dB

kg<0

ωc

ωrad / s

kg>0Φ( ω )

Φ( ω )

0

0

ωgγ >0

ωrad / s

0

0

ωg

ωrad / s

-1800

-1800γ <0

稳定

不稳定

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

(1)稳定裕量概念只适合于开环稳定的系统 (2) 稳定裕量概念判系统稳定基于Nyquist判据物理概念：当开环传递函数的相移为1800时，负反馈成为正反馈。

+ -

Asinωt

A’sin(ωt+1800)

G0(jω)A’ ≥ A 时不稳定

实际中避免振荡的方法：(1)减小开环放大倍数K值 (2)错开各环节的时间常数

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

(1)减小开环放大倍数K值L( ω ) dB0 dB

ωc

ω

ω'cΦ( ω )

00

ω

-1800

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

(2)错开各环节的时间常数 + L( ω )

k1 T1 s + 1

k1 T1 s + 1L( ω)

k1 T1 s + 1

00 dB1 1 1 = = T1 T2 T3

ωc

ω

0 -200 dB1 T11 T2

ωc

1 T3

ω

-60Φ( ω )

-40 -60ω

Φ( ω )

00 -1800 -2700

ω

00 -1800 -2700

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

k 例4.12 G0 ( s ) = s( s + 1 )( 0.1s + 1 )(1)低频段: ω=1 k=5

K=5和k=20

判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量 L(1) = 20lg5 = 14dB -20dB/dec

k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB -20dB/dec (2)转折频率： ω1=1 ω2=10 -20dB/dec -20 dB/dec

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

L( ω) dB26dB 14dB 0.1 -20 -60 -40 1 40 20 -20 -40 10

ω

rad / s

φ( ω )-900 -1800 -2700

度

3.16 0.1 1 10

ωrad / s

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

计算相角裕量：求穿越0dB线的ωc和Φ(ωc) 14dB -40 K=5 40(lg ωc1 lg 1 ) = 14dB 0dB 1 ωc140 lg ω c1 = 14dB , ωc1 = 2.24

Φ( ωc1 ) = 900 tg 1 ( ω c1 ) tg 1 ( 0.1ω c1 ) = 168.6 0 660 12.60 γ = 1800 + Φ( ω c

1 ) = 11.4 0 > 0系统稳定

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

26dB K=20 0dB 1

-40 ωc2

40(lg ω c 2 lg 1 ) = 26dB 40 lg ωc 2 = 26dB , ω c1 = 4.47

Φ( ωc1 ) = 900 tg 1 ( ω c1 ) tg 1 ( 0.1ω c1 ) = 191.50 77.40 24.10 γ = 1800 + Φ( ω c1 ) = 11.50 > 0系统不稳定

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

计算幅值裕量：

Φ( ω g ) = 900 tg 1 ( ω g ) tg 1 ( 0.1ω g ) = 1800求穿越-1800的ωgωg = 3 ω g = 3 .3 ω g = 3 .2 Φ( 3 ) = 1780 Φ( 3 ) = 181.40 Φ( 3 ) = 180.40

ωg

取ωg =3.2

k =5 k = 20

k g1 = 40(lg 3.2 lg 2.24 ) = 6.2dB k g 2 = 40(lg 3.2 lg 4.47 ) = 5.8dBωc1 ωc2

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

例4.14L( ω) dB40 20 0.1 -20

1 G 0( s ) = 2 s ( 2s + 1 )-40

低频ω = 1, 20 lg k = 20 lg 1 = 0dB , 40dB / decrad / s

ω0.5

1 -60度

10

φ( ω )0

ω1 10

1 1 转折频率 ω = = = 0.5 , T 2 20dB / decrad / s

0.1 -90 -1800 -2700

γ = 180 0 + Φ( ωc ) = 1800 180 0 tg 1 ( 2ω c ) = tg 1 ( 2ω c ) = 57.7 0

γ

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

-60 -40 0.5 ωc 1

1 1 ωc 40 lg = 60 lg Q 40 lg ≈ 12 0 .5 0.5 0.5 12 ωc ωc ≈ lg , lg 1.58 ≈ lg 60 0.5 0.5 ωc = 0.5 × 1.58 = 0.79

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4.4.2对数频率特性与系统的稳定性

例4.15

L( ω) dB20

1 jτω 1 G 0 ( jω ) = e = , jω ω-20 0.1 1 10

1 τs G0 ( s ) = e sΦ( ω ) = 900 57.30 × τωτ = 1, Φ( 1 ) = 900 57.30 = 147.30 γ = 330 τ = 0.1, Φ( 1 ) = 900 5.730 = 95.7 0 γ = 840

ω

rad / s

-20

φ( ω )0

度

ω1τ =1

rad / s

0.1 -90

10τ = 0.1