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黑龙江省哈尔滨市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）

一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1. 已知椭圆

116

252

2=+y

x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A. 2 B.3 C.5 D.7 2．抛物线2

20x y =的焦点坐标为（ ）

A. ()5,0-

B. ()5,0

C.()05，

D.()0,5- 3. 双曲线4422=-y x 的渐近线方程是（ ）

A. x y 2±=

B. x y 21±

= C. x y 4±= D. x y 4

1

±= 4. 已知双曲线22

22

11x y a a

-=-()01a <<

a 的值为（ ） A.

1

2

B.

2

C.

13

D.

3

5.已知P 是椭圆22

184

x y +=上一点，1F 2,F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为（ ）

A. 35

B. 34

C.

334 D. 3

3

5 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆12

2

=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）

A. 3±

B. 1±

C. 2

1

±

D.

33

±

7.已知抛物线C ：2

2x y =，过点(0,2)M 的直线交抛物线C 于,A B ,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ）

A ．1-

B ． 0

C ．1

D ． 2-

8. 如果y x ,满足约束条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≤-≤-+≥+-02020

1y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是（ ）

A ．5-

B ．

52 C ．10

3

D ．5 9． 过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2

1π

=Q PF ，则双曲线的离心

率等于（ ）

A. 2

B. 12+

C. 22+ 10. 过抛物线2

4y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则

11

AB CD

+=（ ） A. 2 B. 1 C.

12 D. 1

4

11. 已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，

若3FP FQ =，则||QF =（ ）

A. 83

B. 5

2

C. 3

D. 2

12．已知抛物线C ：2

10y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆2

2

:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ）

A

．

D ．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．双曲线

22

1416

x y -=的实轴长为 ． 14．已知双曲线：22

154

x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点(1,1)A ,则直线l 的斜率为 ．

15.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且3

21π

=

∠PF F ，椭圆的离心率

2

P

D

B

C

A

E

F

为1e ，双曲线的离心率2e ，则

=+22

2131e e ． 16. 已知椭圆C ：

22

11612

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为 P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．

三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）

已知圆C

经过点(2,0),(1A B 且圆心C 在直线y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；

（Ⅱ）过点13

（，的直线l 截圆C

所得弦长为，求直线l 的方程．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，

90ACB ∠=，11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；

（Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值. 19．（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，椭圆的短轴端点与双曲线

2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围. 20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，

PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点.

（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；

（Ⅱ）若2PA =，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角

Q AP D --

Q 的位置；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，

短轴两个端点为,,A B 且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足

MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．

22.（本小题满分12分）

如图，抛物线1C ：px y 22

=与椭圆2C ：

112

162

2=+y x 在第一象限的交点为B ，

O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为3

6

8.

B 1 C

B

A

D

C 1

A 1

3

（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；

（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，射线OC 、OD 分别交2C 于E 、F 两点，记OEF ∆和

OCD ∆的面积分别为1S 和2S ，问是否存在直线l ，使得77:3:21=S S ？若存在，求出直线l 的方程；

若不存在，请说明理由．

数学答案 （理科）

一．选择题

1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题

13.4 14. 4

5

15.4 16.16

三．解答题

17. （Ⅰ） 设圆心 ．

所以

，圆

的方程为

． ……………4分

（Ⅱ） 若直线 的斜率不存在，方程为

，此时直线 截圆所得弦长为

，符合题意；

若直线 的斜率存在，设方程为

，即

．

由条件知，圆心到直线的距离

直线 的方程为

．

综上，所求方程为

或

． ……………10分

18. 不妨设1AC =，则12AA =，

（Ⅰ ）因为D 是1AA 中点，所以12DC DC ==,从而22211DC DC CC +=，故1DC DC ⊥， 又因为侧棱垂直于底面， 90ACB ∠=，所以11,BC DCC BC DC ⊥∴⊥平面，

1,DC

BC C DC BDC =∴⊥平面，

11,DC BDC ⊂平面 1BDC BDC ⊥平面平面; ……………6分

（Ⅱ）以如图，以C 为原点，1,,CA CB CC 为,,x y z 轴正向建立空间直角坐标系， 则()()()()10,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,2C D B C

()()

11,0,1,0,1,2CD BC ==-

111

10cos ,CD BC CD BC CD BC ∙

=

=

所以直线DC 与

1BC 所成角的余弦值是 ……………12分

19. 解：（Ⅰ）由题意知2222

22

11,24

c c a b e e a a a -=

=∴===，

224

3

a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,b =，224,3a b ∴==，

∴椭圆的方程为22

143

x y +

=. ……………4分 （Ⅱ）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-，

当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，

2222

4(34)243603412

x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>

设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212

222436

,3434

m y y y y m m +=-

=++，……………6分 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++ ……………8分

2

116

434

m =

-+ ……………10分 2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为13

[4,)4

- ……………12分

20. 证明：（Ⅰ）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，

4

//MF DC ∴,且MF=12

DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点，//AE DC ∴ 且AE =12

DC ，

//AE MF ∴且=AE MF ，故：EFMA 为平行四边形，//AM EF ∴ ……2分

又∴EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD

∴EF //平面PAD ……4分

（Ⅱ）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系： (0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11

(,,1)22

F

由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分 假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，1

(,0,1)2EF =，

1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP =，1

(,,)22

AQ λλ=

设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =，

10

(1,,0)2

20x y z m z λ

λλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ ……10分 cos ,1m n m n m n

⋅<>=

=

+，由已知：

=

解得：1

2

λ=

，所以：满足条件的Q 存在，是

EF 中点。 ……12分 21.（Ⅰ）由题意得 ，所以 ，，

所以所求的椭圆方程为 ． ……………4分

（Ⅱ） 由（1）知，，

．由题意可设

，

因为

，所以

．

……………6分

由

整理得 ，因为 ，

所以

， ……………8分

所以

，， ……………10分

所以 ．

即

为定值 ． ……………12分

22. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为

368,所以3

6

4=B y ， ……………2分 代入椭圆方程得)3

6

4,

34(B ， 抛物线的方程是：x y 82= ……………4分

（Ⅱ）显然直线l 不垂直于y 轴，故直线l 的方程可设为4x my =+， 与x y 82

=联立得03282

=--my y .

设),(),,(2211y x D y x C ,则32,82121-=⋅=+y y m y y

12211

sin 2

1sin 2

E F OC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠F E y y 32=

.……………6分 由直线OC 的斜率为

1118y x y =,故直线OC 的方程为x y y 1

8

=，与

1121622=+y x 联立得 1)1211664(2

12

=+⋅y y E ，同理1)12

11664(2

22

=+⋅y y F ，

所以2

E y ⋅1)121

1664)(1211664(2

2212

=+⋅+⋅y y y F

………8分 可得2E y ⋅2

2

36256

12148F y m ⨯=

+

要使37712=S S ，只需 2

2232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭

………10分 x

y

z Q

5 即21214849121m +=⨯

解得11±=m ，

所以存在直线l : 0411=-±y x 符合条件 ………… 12分