2016年全国初中数学联合竞赛(初二年级组)四川组试题参考答案
时间：2025-04-06
2016年初中数学联赛初二组四川试题及参考答案
2016年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．用[x]表示不超过x的最大整数，把x [x]称为x的小数部分.
已知t
，a是t的小数部分，
b是 t的小数部分，则
A.
11
（ ） 2ba
1
．
． C.1．
2【答】A.
∵t
2 3 2
4，∴a t 3 1.
又∵ t 2
4 2
3，∴b t ( 4) 2
∴
111 . 2ba22．三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么
不同的购书方案共有 （ ）
A．9种． B．10种． C．11种． D．12种． 【答】C.
设购买三种图书的数量分别为a,b,c，则a b c 30，10a 15b 20c 500，易得b 20 2a，
c 10 a，于是a有11种可能的取值（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）.对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， 所以，不同的购书方案共有11种.
3．如图，P为△ABC内一点，∠BAC＝70°，∠BPC＝120°，BD是∠ABP
的平分线，CE是∠ACP的平分线，BD与CE交于F，则∠BFC＝ （ ）
A. 85°． B．90°． C．95°． D．100°． 【答】C.
延长BP交AC于点Q，则∠BPC＝∠ACP ∠BQC. 又因为∠BQC＝∠A ∠ABQ，所以
∠BPC＝∠A ∠ACP ∠ABQ ①
B
2016年初中数学联赛初二组四川试题及参考答案
又因为∠BFC＝∠ACE ∠BDC，∠BDC＝∠A ∠ABD，所以 ∠BFC＝∠A ∠ACE ∠ABD ②
又∠ACP＝2∠ACE，∠ABQ＝2∠ABD，结合①、②两式可得
∠BPC＝∠A 2∠ACE 2∠ABD＝2(∠A ∠ACE ∠ABD) ∠A＝2∠BFC ∠A， 所以∠BFC 4．
记Sn A.
11
(∠BPC ∠A)＝(120 70 ) 95 . 22
S2016，则＝ （ ） 2016
2016201720172018． B. ． C. ． D. ． 2017201620182017
【答】D.
对于正整数k，有
1
111221k 12212k 112
(1 ) () () ( )，
222k(k 1)kk(k 1)kkk 1kk 1
k 1111
，故
1 kk 1kk 1
Sn 111111111n(n 2)
， (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) n 1
122334nn 1n 1n 1S12016 20182018所以2016 .
2016201620172017
5．点D、E、F分别在△ABC的三边BC、AB、AC上，且AD、BF、CE
ABACAM
相交于一点M，若＝ （ ） 5，则
BECFMD
75
A. ． B. 3． C.． D. 2．
22【答】B. 设
C
AES AMCtS DMCAMAFS AMBtS BMD
t，由题设可得 ，，所以 MDEBS BMCS BMCFCS BMCS BMC
tSt(S DMC S BMD)tStSABACAEAF 2 DMC BMD 2 2 BMC 2 t 2， BECFEBFCS BMCS BMCS BMCS BMC
又已知
ABACAM
5，所以t 2 5，所以t 3，即 3. BECFMD
5
2
3
4
6．设a,b,c,d都是正整数，且a b，c d，a c 319，则A. 15． B. 17． C.18． D. 20．
【答】
B.
bc
＝（ ） a2d
2016年初中数学联赛初二组四川试题及参考答案
设a b m，c d n，则a m，b m，c n，d n. 由a c 319得m n 319，即(m n)(m n) 319.
2
4
521034122543
22
m n2 319, m n2 29,
而319 319 1 29 11，所以 或
22
m n 1, m n 11.
2
m n 319,2若 则n 159，此时c,d不是自然数，不合题意，舍去；
2
m n 1,
2 bcm5n4 m n 29,若 则m 20，n 3.所以2 3 m n 17. 222
ad(m)n m n 11,
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．如图，已知四边形ABCD的对角互补，且 BAC DAC，AB 15，
AD 12.过顶点C作CE AB于E，则
AE
_______． BE
【答】9. 过顶点C作CF AD于F，又因为 BAC DAC，所以△ACECE AB，≌△ACF，所以AE AF，CE CF. 又 ABC ADC 180 ，所以 CDF 180 ADC ABC EBC，故△BCE≌△DCF，所以BE DF.
而AB AE BE，AD AF DF，所以AB AD AE AF BE DF 2AE，所以
1
AE (AB
2
A)D 13，.5BE AB AE 1.5，所以
2
2
2
AE13.5
9. BE1.5
2．已知整数a,b,c满足不等式a 2b c 211 ab 28b 20c，则a b c＝_______． 【答】2.
因为整数a,b,c满足不等式a 2b c 211 ab 28b 20c，所以a 2b c 212
2
2
2
2
2
2
17
ab 28b 20c，即a2 2b2 c2 ab 28b 20c 212 0，即(a b)2 (b 8)2 (c 10)2 0.
24
1271272222
显然(a b) (b 8) (c 10) 0，故有(a b) (b 8) (c 10) 0，
24241
于是有a b 0，b 8 0，c 10 0，所以a 4，b 8，c 10，所以a b c 2．
2
3．若质数p,q满足：3q p 4 0，p q 111.则pq的最大值为． 【答】1007.
由3q p 4 0得p 3q 4，所以pq q(3q 4)，显然q(3q 4)的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时pq取得最大值.
又因为p q 111，即p q＝4q 4 111，所以q 29.因为q为质数，所以q的可能的取值为23，19，17，13，11，7，5，3，2.当q＝23时，p 3q 4＝65，不是质数；当q＝19时，p 3q
4＝
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