11.第三章8-控制系统的时域分析5

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§3-5控制系统的稳定性在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。一、稳定的概念和定义在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。

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稳定与不稳定系统的示例f Aφφ

图3-18不稳定系统A'

dAf

图3-17摆运动示意图

cf

图3-17为稳定的系统。图3-18为不稳定系统。

A图3-19小范围稳定系统

图3-19中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。

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二.稳定的充要条件稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的(简称为稳定)。否则，称该系统是不稳定的。在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。

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根据上述稳定性的定义，可以用δ (t )函数作为扰动来讨论系统的稳定性。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲δ (t ),这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于∞时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即 lim C (t )= 0t→∞

该系统就是稳定的。根据这个思路分析系统稳定的充要条件。设系统的闭环传递函数为bm s m+ bm 1 s m 1+ ...+ b0Φ (s)= a n s n+ a n 1 s n 1+ ...+ a 0

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特征方程为如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根Ρi和r对共轭复数根ζ kω nk± jω nk 1ζ 2,则在单位脉冲函数δ (t )的作用下，系统输出量的拉氏变 m换可表示为C (s)= K r∏ (s Z j )j=1 r

an s n+ an1s n1+ ...+ a0= 0

( s Pi )∏ ( s 2+ 2ζ kω nk s+ω 2 nk )∏i=1 k=1

q

1

将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得C (t )=∑Α i ei=1 qΡi t

+∑ eζ kω nk t (Β k cosω dk t+ C k sinω dk t )(3-28)k=1

r

式中

ω dk=ω nk 1ζ 2

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式(3-28)表明当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有 lim C (t )= 0,此时系统是稳定的。t→∞

如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C ( t )→∞,系统是 t→∞不稳定的。

如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C(t)趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根据都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分(不包括虚轴)。

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三.劳斯稳定判据由以上讨论可知，控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。但是，这种求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。因此，人们希望寻求一种不需要求解的特征方程而能判别系统稳定性的间接方法，而劳斯判据就是其中的一种。劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据，因此，这种判据又称为代数稳定判据。至于分析系统稳定性的其它方法如奈氏判据、根轨迹图分析法、伯德图分析法等，将在以后的各章中分别予以介绍。

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1、稳定的必要条件设系统的特征方程为 a n s n+ a n 1 s n 1+ ......+ a1 s+ a 0= 0 (3-29)式中 a n 0 (当 a n< 0时，可将方程两边同乘以-1)。若该方程的特征根为 pi(1,2,….n),该n个根可以是实数也可以是复数，则式(3-29)可改写成为sn+ a a n 1 n 1 a s+ ......+ 1 s+ 0= ( s p1 )(s p 2 )......(s p n )= 0 an an an

将上式展开

a n 1= (Ρ1+Ρ2+ ......+Ρn ) ana n2=Ρ1Ρ2+Ρ1Ρ3+ ......+Ρ2Ρ3+Ρ2Ρ4+ ......+Ρn 1Ρn an……

a0= (1) nΡ1Ρ2 ......Ρn an

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由此可见，如果特征方程的根 p 1, p 2, p n都具有负实, a n必然都大部，则式(3-29)的所有系数 a 0, a 1,于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即 a i> 0 ( i= 0,1, 2,, n )根据必要条件，在判别系统的稳定性时，可事先检查系 …… 此处隐藏：2125字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……