2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第二篇第2讲填空题的解法

时间：2025-07-11

第二篇第2讲

第2讲【题型特点概述】 1.填空题的特征

填空题的解法

填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”.填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论),留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.

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从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”,而要达到“准确”, 则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.

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2.解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是 “巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等.

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方法一

直接法

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.

第二篇第2讲例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的2

周期函数.若当x∈[0,1)时，f(x)=2x-1,则f( log 1 6 )的值为________.

解析因为-3< log 1 6 <-2,2

所以-1< log 1 6+2<0,2

3 即-1< log 1 <0. 2 2因为f(x)是周期为2的奇函数，

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3 所以f log 1 6 f log 1 f 2 2 2

3 log 1 2 2

3 log 3 1 2 2 f log 2 (2 1) 2 2

答案

1 - 2

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直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键. 本题为函数的求值问题，常常伴随函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用.解题时先分析所给的自变量值是否在已知函数的定义域范围内.

第二篇第2讲已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且 f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m+n的 5 值为________ . 2 log2x,x≥1, 解析 f(x)=|log2

x|= -log2x,0<x<1,

根据f(m)=f(n)及f(x)的单调性，知0<m<1,n>1,又f(x)在[ m2,n] 上的最大值为2,0<m2<m<1, 1 5 所以f(m )=2,求得m= ,n=2,于是m+n= . 2 2 5 故填 . 22

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方法二

特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值 (或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

第二篇第2讲例2 (2012· 湖南)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD,垂足为P,且 → → AP=3,则AP· AC=________. 18 → → → → → → → → → 解析方法一 ∵AP· AC=AP· (AB+BC)=AP· AB+AP· BC → → → → → → → → → =AP· AB+AP· (BD+DC)=AP· BD+2AP· AB, → → ∵AP⊥BD,∴AP· BD=0. → → → → →2 又∵AP· AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP| , → → → ∴AP· AC=2|AP|2=2×9=18.方法二把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC=6, → → 则AP· AC=18.

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求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.本题中的方法二把平行四边形看作正方形，从而减少了计算量.

第二篇第2讲(1)如图，在△ABC中，AD⊥ → → → → → AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC · AD =3 ____.3 (2)cos2α+cos2(α+120° )+cos2(α+240° )的值为________ . 2

→ 解析 (1)不妨取|BD|=2,π → 则|BC|=2 3,∠ADB=3,→ → → → → → → → → ∴AC· AD=(BC-BA)· AD=BC· AD-BA· AD π =2 3×1×cos3+0= 3.

3 (2)令α=0° ,则原式=cos 0° +cos 120° +cos 240° =2.2 2 2

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方法三

数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.

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例3 已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么

10 函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有______个.解析如图，作出图象可知y=f(x)与y=|lg x|的图象共有10个