模糊控制林舒萍

§1.4 截集和基本定理 “截集”概念的引入

1、 截集 ①定义：

设A F ( X ), [0,1], 记： A ( A) {x X | A( x) } 称为A的 截集，亦称 水平截集， 叫做置信水平。又记 A ( A) {x X | A( x) } 称为A的 强截集，亦称开截集。

②推论： 若 ,则A A ,A A 1 2 1 2

1

2

③截集的性质及其证明(1)( A B ) A B ;( A B) A B (2)( A B ) A B ;( A B) A B (3) A A (4)若A B, 则A B , A B (5)若 1 2 , 则A 1 A 2 , A 1 A 2 (6)( A) A(1 ) ;( A) A(1 ) (7) A0 X , A1

④定义

:设A F(X), 称A1={x X|A(x)=1}为 A 的核, 记为ker A . 称 A0 ={x X|A(x)>0}为 A 的支集, 记为supp A . 称supp A ker A 为 A 的边界。

⑤定义

: 设A F ( X ),若 ker A ,则称A为正规模糊集， 否则A称为非正规模糊集。

A 的截集、支集、核均为经典集合，一般有：

即：

ker A A sup pA X

A1 A A0 A0

2、分解定理 ①定义： 设 [0,,A F ( X ),由 、A构造一个新的模糊集，记为 A。 1] 称为 与A的数乘，其隶属函数为： A( x) A( x), x X

②性质a.若 1 2,则 1 A 2 A b.若A B,则 A B ③分解定理Ⅰ设A F ( X ),则A A [0,1]

x

④分解定理Ⅱ 设A F ( X ),则A A A [0,1] [0, 1] ⑤分解定理的思路总结 任取 [0,1], 将模糊集 A 切成经典集合A ,再用 与 A 作数 乘得模糊集 A , 将所有的数 A ( [0,1])拼起来, 组成 ∪ [0,1] A , 此模糊集就是 A

作业2:P41 18,19

1、设 U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 0 0.2 {u , u , u , u } 0.2 0.5 1 2 3 5 A {u1 , u3 , u5 } 0.5 0.6 {u1 , u3} 0.6 0.7 {u3} 0.7 1

试求出模糊集 A 。

3、扩展定理 ①经典集的扩展定理用S ( X )表示X 上的所有经典集合 设X , Y 是经典集合, 给定X 到Y的映射 : f : X Y x | f ( x)

f : S ( X ) S (Y ) f 1 : S (Y ) S ( X )

A | f ( A) { y | x A, y f ( x)} B | f 1 ( B) {x | f ( x) B}

经典扩展定理把两个论域

中元素之间的对应关系 扩展到经典集合之间的对应关系。

②模糊集的扩展定理 定义：设X , Y 为经典集合，映射： f : X Y x | f ( x) 可以诱导一个F ( X )到F (Y )的映射： A | f ( A) 以及一个由F (Y )到F ( X )的映射： B | f ( B) 1 f ( A)和f ( B)的隶属函数分别定义为： 1 A( x) , f 1 ( y ) f ( A)( y ) x f ( y ) 0 , f 1 ( y ) 以上两个映射称为扩展映射。 f 1 : F (Y ) F ( X ) f : F ( X ) F (Y )

关于扩展定理的讨论： ①思路： ⑴目的：把经典集上的运算过渡到模糊集的 运算 ⑵关键：确定模糊集上相应的隶属度函数的 计算方法 ⑶解决的问题：把经典集上的运算扩充为相 应的模糊集上的四则运算，加减乘除都可 以实现 ②应用：

作业3:P41 28