高中数学讲座

数学super讲座

同学们，大家下午好。今天下午进行的是数学讲座，受学校委托，将由我担任数学讲座的主讲。我是高一数学老师—吴永恒！

数学，是一门我们费力很多，但好象所得的甚少的学科，大多数人在经历义务教育时读了9年数学，如果，算上幼儿园的算术或者学前班的数学，就不止9年了，而如果算到高中毕业时读至少12年数学，在大学中无论是学理工科还是学经济管理甚至外贸或者外语专业都要学习数学，所以每个人花在数学上的时间非常之长。可是现在反过来想，在日常生活中你有没有用到数学，这些数学是否有用，对你有什么帮助，好象不如其他基础课那么明显。可是，往往在考试中，考考考，烤烤烤！ 无论是小学升初中，还是高考甚至考研究生，数学都被放在一个非常重要的位置上，可是你学完数学后到底对数学究竟了解多少，应该还不是很了解，因为我们平常用不到数学。例如学习会计学的人要学三角函数，但会计在一般情况下是不会去算三角的，所以学习三角学之后在什么地方用不大清楚；又如学习历史的人要学习计算机算法，但历史老师一般是不需要编程的，所以学习算法之后，不知道什么地方什么时候会用到；而这种情况，确实有问题存在。难道，数学就没有用吗？这是个问题。

所以数学虽然经过如此费劲的教育，但是你自己的知识和在日常生活中的应用却非常之少，这是一个矛盾，我们应该怎么理解这个问题了。今天，我要谈论的课题就是“数学与生活”。我们首先要谈一

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谈数学现在到底有没有用，还是只要学习三百年前那个算术代数就足够了吗？

首先，我们要有这么一个概念，现代数学非常重要。有这么一首歌，唱到“心若在，梦就在”，同样可以说“数学在，思维在”。而对数学的研究也有必要。譬如，古诗与数学。

许多古诗中间往往嵌镶着数字。如“三十功名尘与上,八千里路云和月”“、流直下三千尺,疑是银河落九天”“、一叫一回肠一断,三春三月忆三巴” 这样的例子俯拾皆是。

《山村咏怀》《绝句》《咏雪诗》《十一诗》

研究性学习，我们可以研究这个。

数学，功利一点说，起码，考试的好坏离不开数学，在唯考是命的中国教育现状中，数学有着举足轻重的作用，其实，除了这一点，我们真正需要认识的是，数学非常重要，而且对于现在的科学技术起着决定性的作用，只不过数学是一个幕后英雄，而不是台前的明星。人们不是常说一个成功的男人背后总有一个支持他的女人吗，这话当然可以反过来说，成功女人的背后总有一个做奉献的男人，现在很多成功的科学技术都是数学在做幕后英雄。数学是一切科学的基础，没有数学做支撑，就没有如今发达先进的科技成果。

数学与生活有什么关联呢？我想通过数学中的悖论来阐述。 几何定理中的黄金：勾股定理。

提到勾股定理，我想我们都不会感到陌生。像3，4，5我们一般就叫做勾股数，而翻开历史，这一定理最早记载在《周髀（bi）算经》一书，勾股数也叫商高数；而在国外称毕达哥拉斯数。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。在国外，最早给出勾股定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。

他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。该学派研究过一类有趣的数—亲和数。什么是亲和数？我们可以算算220的所有真因子之和：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284；反过来，再算284的所有真因子之和：1+2+4+71+142=220.奇妙的关系出现了，220的所有真因子之和等于284，反过来，284的所有真因子之和又恰好等于220.220和284之间“你中有我，我中有你”的关系多像一对形影不离、心心

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相印或者说水乳交融的好朋友。以后，我们说朋友关系时可以说，好朋友，如同220与284一样。

“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第

场巨大风暴。希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。

当然，在数学的发展史上，后来还出现了第二次和第三次数学危机。

现在，我们来看看一些数学悖论。

1、世上没有全能的上帝

照道理，“全能”是指有能力做到任何可能做到的事情。那么，一个全能的上帝能否造出一块自己不能举起的石头？如果可以，那便有一件事是上帝做不到的了，就是举起自己创造的那块石头。如果上帝造不到这样的一块石头，那上帝也不是全能的了，因为造一块自己举不起的石头，我们也可以做到。所以，世上没有全能的上帝。

2、理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一个理发师，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不给自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？

如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。

3、阿基里斯追龟悖论

当然，我们说的这个龟是普通的乌龟，而不是什么忍着神龟。 阿基里斯，运动天才，以善跑著称。如果让爬得极慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。

数学家芝诺论证如下：乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要先达到乌龟的出发点A。但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点···依此类推，两者的距离虽然越来越近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。而现实生活告诉我们，阿基里斯，很快就超过乌龟了。

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4、第二次数学危机时的一个数学悖论

无穷级数S＝1－1＋1－1＋1 到底等于什么？

当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋ ＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋ ＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。

5、世界上是先有鸡还是先有蛋？（穷极悖论）

○老套的问题，当然是先有鸡，只是刚开始它不是鸡，而是别的动物，后来它们的繁衍方式发生了变化，——成为了卵生，所以才有了蛋。

○最早没有卵生动物，很多生物还是无性繁殖分裂的，后来慢慢进化成卵生和哺乳动物，所以按道理应该先进化成生物本体才可能有蛋的由来。

○“蛋”有可能来自外星球，后来环境适应而孵化，之后在地球繁衍.....就形成了鸡生蛋，蛋又孵化成鸡。

6、在黑板上标出三个有错误的句子；

1． 2+2=4

2． 3*6=17

3． 8/4=2

4． 13-6=5

5． 5+4=9

回答：只有第2句和第4句是错的。所以说“有三个句子错了”的断言错了，而这个断言就成了第三个错句！

7、点的多少

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大圆上的点多，还是小圆上的点多，抑或是一样多？

时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，人们正向根本解决的目标逐渐接近。可以预料，在这个过程中还将产生许多新的重要成果。

数学发展的历史表明对数学基础的深入研究、悖论的出现和危机的相对解决有着十分密切的关系，每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。

影响二十世纪最重要的一件武器是核武器，最初美国在研制原子弹和氢弹时当然是物理学家、化学家和许多重要其他科学家做主角，但是像研制原子弹这样的技术没有数学行不行呢？光靠实验行不行，只要翻开历史你就会发现，数学家在这里面起了重要的作用，比如在研制氢弹时物理化学估计氢弹不能研制出来，因为氢弹爆炸会使整个地球和地球的大气燃烧，若是整个地球都毁了氢弹就无法制造出来，这时要验证和否定这个观点是不是不能靠实验的，在这种完全未知的情况下，数学起了重要作用，经过数学家的计算，断定氢弹爆炸不至于引起整个大气的燃烧，可以造出氢弹，而造原子弹时需要做多大的体积，选择怎样的爆炸方式，美国在开始制造原子弹时经历了不能做实验，只能靠数学，靠理论的过程。

数学是一个很开放的领域，他总在不断的进步，而且这种不断的进步形成了一种非常丰富的资源。数学走在科学技术发展的前沿，数学在过去的二十世纪和如今的二十一世纪，不再是马后炮了，已经成为一个事先诸葛亮，而不是事后诸葛亮。

同学们都学习过指数函数吧，对于棋盘的故事想必不陌生。那么，在这个故事里，国王之所以最后没有办法实现诺言，是因为指数增长急速的缘故。举个生活中的例子吧，非法传销的道理与8 8国际象棋棋盘中放米的道理是完全一样的。为了方便说明假设一个人发展10个人，那么第一个人开始做传销的，是10的0次方，1个人发展10个人就是10个1次方，而10个人再发展10个人就成为10的2次方，

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当发展到10的5次方十万人，那么10的6次方就是一百万人，这样要在一个局限的范围内，比如说一个小县或者一个很大的地方，到了四五层的人就根本无法传下去，因为按照指数增长到一定程度就没有再多的人让你去走了，加入到了第八层那就是一亿人，是中国差不多1/10的人口了，这根本不可能实现，指数增长和一个一个的增长不一样的，两粒米三粒米四粒米四个等差积数，而指数增长也是如此之快，以至于你不可想象，这就是为什么好多人传销上当受骗，因为到了一定的级别他无法传下去，只能往上传，而你往上传，你的上限当然不干，上面的叫上限下面的叫下限，那你只能往下传，可是已经没有人可传了，既然利润都给了上头这个人，其他的人就只能倾家荡产了，这些在日常生活中碰到的实例并不要求你学什么数学理论，只要有一个数学的思维方式就是进步。那么，你数学就没有白学了。

在生活中，其实有时候我们用到了数学却没有察觉到的，简单的，如生活中的一些换算。那么现在看这个例子。根据锻炼标准： 一个人每天的运动量应该是走一万步。那么! 假使有人由于种种原因! 走不了这么多路怎么办？没关系! 可以通过计算为您换算出一万步的运动量：它分别等于游泳30分钟，跑步30分钟，连续打网球45分钟，骑车95分钟! 做家务120分钟。好!公式既然明确公布，请热爱健康的人们分头实施去吧。

新交通法规对酒后驾车严惩不贷! 但喝到什么程度才算违法？说来理论上有点儿复杂! 指的是每百毫升血液中酒精含量达到80毫克，就算醉酒驾车。这种说法虽然精确! 但不够形象。于是我们换算

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出，相当于70度白酒约1两, 65度白酒约1.5两，日本清酒约1斤，红酒约1斤2两，啤酒约3瓶或6个易拉罐。当然，任何时候我都不主张醉驾。

数学最重要的一点是精密科学，它要求必须清楚概念的含义，在广告中最常见的是本产品高科技含量50%或55%，更有甚者给你一个小数点的，55.98%，可是什么是高科技含量不清楚不知道，也不知道55.98%以外的部分叫什么，难道是低科技含量吗，这种说法就是迎合那种一听高科技就眼睛一亮的人，此外对数字特别迷信也不可取，比如14.56好象精确得不得了了，那一定非常靠得住，这完全是谎话，有许多时候只信数还不如无数，因为许多时候有这个数跟没有这个数的效果完全一样，根本就没有用，那只是用来欺骗大众的，还有一个常见的说法以前是讲祖传秘方药到病除，一针就灵，诸有此类的话，现在当然比较高级了，用到了数学概念，就用到治愈率有效率是45.8%，治愈率是45.8%，有效率是98.5%。在广告中有些所谓特效药，都会讲到治愈率是多少，有效率是多少，那么这个数字怎么来的，可能不知道，如果有两个人一个治好了，一个治坏了就说有效率是50%，而且这个治好了的人是靠这个药治好的了，还是不用药自然就痊愈的呢，你都不知道，也就是自然用他自身的免疫力抵抗力就自然痊愈的呢你都不知道，你就可能听信这个50%，或者说这药对两个人都有用，或者说如果这个药对两个人都有效的话，有效率就变成了100%了，如此一来这药可不得了了。其实呢，这个所谓的百分数要看取样是再一个什么样的集合之内。

用数量衡量要适可而止，过于准确或小数点后面许多位，对于指导生活是没有实际意义的，比如下雨的概率，播报称为39.53%，这小数点后面的数字根本没有意义，就两位数足以，因为这两位数还不准确了，那后面的数字又有什么意义呢。对于数学要有一个概念，要在哪一种情况下进行，这是学数学的一个思想，不要看见数就轻信，就以它来知道你的生活，这样做的决策会使你的生活出现问题。

最后，送同学们一个逻辑推理思考题。《红蓝眼睛推理》--题目是这样的：有一个村子，里面只有两种人，一种人的眼睛是蓝色的，另一种是红色的，而且这个村子只有三个人。这个村子有一个习俗，就是如果知道自己眼睛的颜色并说出来，晚上自杀便能够升入天堂。但是他们不能够照镜子以及看水面倒影，而且他们三个人也不能够说

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话，不能够肢体提示。

第一天，三人来到广场，面对面对望相坐，他们都能够看到其他两个人眼睛的颜色，但不知道自己眼睛的颜色，太阳下山后，三人各自回到家里睡下了。

第二天，三人又来到广场，继续面对面对望相坐，此时村子里来了一个人，只说了一句话，他说你们三人中至少有一个人的眼睛是红色的，之后就走了，太阳下山后，三人各自回家睡下了。

第三天，三人继续面对面对望相坐，太阳下山后，三人各自回家了，不同的是其中两个人在当晚成功的自杀了。

第四天，没有自杀的人来到广场上，看到其他两个人没有来，便知道他们已经自杀了，他回到家里，当天晚上他也成功的自杀了。 结果是三个人都顺利的进入了天堂．现在请问他们中间有几个是红色的眼睛，几个是蓝色的眼睛呢？他们都足够的聪明哦! 今天数学讲座到此就结束了，谢谢大家。O(∩_∩)O谢谢！