清华概率统计课件(第七章 随机变量的数字特征)

清华概率统计课件

概 率 论 与 数 理 统 计

第七章

随机变量的数字特征

2011-6-18

皖西学院 数理系

清华概率统计课件

概 率 论 与 数 理 统 计

第一节

数学期望

2011-6-18

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一 数学期望的引入 例1〔分赌本问题〕 分赌本问题〕 乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50 50元 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50元，每局概 率 论 与 数 理 统 计

无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100 100元 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100元 当甲赢了两局，乙赢了一局时， 。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 问这100元的赌本应如何分配才合理？ 100元的赌本应如何分配才合理 博，问这100元的赌本应如何分配才合理？ 分析：假设赌博继续下去，情况如下： 分析：假设赌博继续下去，情况如下： 甲胜 乙胜2011-6-18

甲胜 乙胜

甲胜的概率为： . 甲胜的概率为： ¾.

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例1〔分赌本问题〕 分赌本问题〕 甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50元，每局 乙两个赌徒赌技相同，各出赌注50元 50 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100 100元 无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本100元 当甲赢了两局，乙赢了一局时， 。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌 概 问这100元的赌本应如何分配才合理？ 100元的赌本应如何分配才合理 率 博，问这100元的赌本应如何分配才合理？论 与 数 理 统 计

设甲得到的赌本为X, 设甲得到的赌本为 ，则X的分布为 的分布为X P

100 3/ 4

0

甲胜的概率为： 甲胜的概率为： . ¾. 甲应该获得赌本的3/4. 甲应该获得赌本的3/4.

1/ 4

即 100 × 3 / 4 + 0 × 1/ 4.且含有平均数的意义. 且含有平均数的意义.

说明：该问题涉及随机变量的分布， 说明：该问题涉及随机变量的分布，2011-6-18 皖西学院 数理系 4

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二

算术平均与加权平均

1 n 1、已知有n个数据x1 , x2 ,L , xn , 则 x = ∑ xi . n i =1概 率 论 与 数 理 统 计

2、如果这n个数据中的不同数据为k个，x1 , x2 ,L , xk . 且每个数据出现的频数分别是n1 , n2 ,L , nk , 那么有 k k ni 1 k x = n ∑ xi ni = ∑ xi n = ∑ xi f i i =1 i =1 i =1问题：如果已知离散型随机变量 的分布 问题：如果已知离散型随机变量X的分布 列 X x1 x2 L xi L 如何求X的平均值 的平均值？ 如何求 的平均值？ P p1 p2 L pi L2011-6-18 皖西学院 数理系 5

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加权平均数的计算： 加权平均数的计算：

x概 率 论 与 数 理 统 计

x1 f1

x2 f2

L L

xk fk

f

x = ∑ xi f ii =1

k

随机变量的平均值： 随机变量的平均值：

概率替换频率

X P

x1 p1

x2 p2

L L

xi pi

L L

x = ∑ xi pii =1

∞

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三 数学期望的定义

(1)设离散型随

机变量X的分布列为P ( X = xi ) = pi ,概 i =1 +∞ 率 E( X ) = xi pi 为随机变量X的数学期望； 论 i =1 与 数 或称为该分布的数学期望，简称期望或均值. 理 统 (2)设连续型随机变量X的密度函数为p( x ), 计

i = 1,2,L ,

如果∑ xi pi < +∞, 则称

+∞

∑

如果

∫

+∞

-∞

x p( x )dx < +∞ , 则称+∞ ∞

E( X ) = ∫2011-6-18

xp( x )dx 为随机变量 的数学期望. 为随机变量X的数学期望 的数学期望皖西学院 数理系 7

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补充说明： 补充说明： 加权平均数： 加权平均数：

概 率 论 与 数 理 统 计

x = ∑ xi f ii =1 +∞

k

频率

离散随机变量期望： E 离散随机变量期望： ( X ) = ∑ xi pii =1

概率

E 连续随机变量期望： 连续随机变量期望： ( X ) = ∫ ∞ xp( x )dx ∞

+∞

概率

注：期望是均值的推广或更一般的形式. 期望是均值的推广或更一般的形式.2011-6-18 皖西学院 数理系 8

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例2. 1)求二项分布B( n, p )的数学期望. (n! P( X = k ) = p k (1 p )n k , k = 0,1,2,L , n. k !( n k ) !概 率 论 与 数 理 统 计

(2)求泊松分布P(λ )的数学期望.注：P( X = k ) =

λkk!n

e λ , k = 0,1,2,L.

解：1) ( X ) = ∑ kP{ X = k } ( Ek =0

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n! = ∑k p k (1 p )n k k !( n k ) ! k =0概 率 论 与 数 理 统 计

n

( n 1) ! pk 1 (1 p)n k = np∑ k =1 ( k 1 ) ! ( n k ) !n

= np[ p + (1 p )]

n 1

= np.

特别地，若X 服从0 1分布，则EX = p.

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(2)E ( X ) = ∑ kk =0

∞

λ

k

k!

e

λ

=e

λ

∑ ( k 1) !k =1

∞

λλ k 1

概 率 论 与 数 理 统 计

= λe

λ

∑ ( k 1) !k =1

∞

λ

k 1

= λe e = λ λ λ

1 2 1 n 注：e = 1 + x + x + L + x + L[这里，x = λ ] 2! n!x

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例3 设 X

U ( a , b ) ( a < b ), 求 ：E ( X ).

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解：X

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