2018-2019学年高二数学人教A版选修4-4讲义：第二讲一曲线的参数方程 1.参数方程

时间：2025-04-22

一曲线的参数方程

1．参数方程的概念

[对应学生用书P21]

1．参数方程的概念

在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t (θ，φ，…)的函数：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于每一个t 的允许值，方程组①所确定的点(x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．参数的意义参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．

[例1] 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)． (1)判断点A (1,0)，B (5,4)，E (3,2)与曲线C 的位置关系；

(2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值．

[解] (1)把点A (1,0)的坐标代入方程组，解得t ＝0，所以点A (1,0)在曲线上．把点B (5,4)的坐标代入方程组，解得t ＝2，所以点B (5,4)也在曲线上．把点E (3,2)的坐标代入方程组，

得到⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎪⎨⎪⎧

t ＝±2，

t ＝1.故方程组无解，所以点E 不在曲线上． (2)因为点F (10，a )在曲线C 上，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

10＝t 2＋1，a ＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝3，a ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝－3，

a ＝－6，所以a ＝±6.

参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．

1．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1t ，y ＝－2

(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．

解析：由t ＋1t ＝2，解得t ＝1.

答案：1

2．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5,4)在该曲线上，求常数a .

解：∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，

a ＝1.

∴a 的值为1.

[例2] 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，

顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数

方程．

[思路点拨] 解决此类问题关键是参数的选取．本例中由于A ，B 的滑动而引起点P 的运动，故可以OB 的长为参数，或以角为参数，此时不妨取BP 与x 轴正向夹角为参数来求解．

[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴

于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )．∵

|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t (0＜t ＜a )．法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，

如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π2，则∠ABO ＝π2

－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |

＝a sin θ.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.

⎝⎛⎭⎫θ为参数，0＜θ＜π2

求曲线参数方程的主要步骤

(1)画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．

(2)选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．

(3)根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．

3．设飞机以v ＝150 m /s 作水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝490 m 处投弹，求炸弹离开飞机后的轨迹方程(设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(g ＝9.8 m/s 2)

解：如图，A 为投弹点，坐标为(0,490)，B 为目标．记炸弹飞行的时

间为t ，在A 点t ＝0，设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，

炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向上的

路程，得⎩

⎪⎨⎪⎧ x ＝v 0t ，

y ＝490－12gt 2(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝150t ，y ＝490－4.9t 2(t 为参数)，这是炸弹飞行曲线的参数方程．

一、选择题

1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2＋1y ＝0