D7-5曲面与空间曲线

第五节 Part1:曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面 四、二次曲面

第七章

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一、曲面方程的概念引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即

( x 1) ( y 2) ( z 3)2 2

2 2 2 2

( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,

不在此平面上的点的坐标不满足此方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,

则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.

F ( x, y, z ) 0

zSo

两个基本问题 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).机动 目录 上页 下页

x

y

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例1. 求动点到定点方程.

距离为 R 的轨迹依题意

解: 设轨迹上动点为即

( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R

故所求方程为 特别,当M0在原点时,球面方程为

( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 z

x2 y2 z 2 R2表示上(下)球面 .

M0

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y结束

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例2. 研究方程的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )

表示怎样

都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.

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二、旋转曲面定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转

一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 . 例如 :

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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有

zCM ( x, y, z )M 1 (0, y1 , z1 )

f ( y1 , z1 ) 0当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有

z z1 ,

x y y12 2

o

y

故旋转曲面方程为

x

f ( x 2 y 2 , z) 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

z

C : f ( y, z ) 0

o x

y

f ( y, x z ) 02 2

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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

zL

M (0, y, z )

y两边平方

x2

z a (x y )2 2 2

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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为

分别绕 x

x2 y2 z 2 1 2 2 a c绕 z 轴旋转所成曲面方程为

x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.2 2 2x

y

z

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三、柱面引例. 分析方程

zM

表示怎样的曲面 .解:在 xoy 面上， 在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作 x 平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2

C o 表示圆C, M

1

y

l

沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间

x 2 y 2 R 2 表示圆柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.

表示抛物柱面,母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.

zC

o xz

x y 2 2 1表示母线平行于 a b x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)

2

2

yz

z 轴的椭圆柱面.

oy

oy

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一般地,在三维空间

zyl1

方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;准线 xoy 面上的曲线 l1.

x

zl 2y

方程 G ( y, z ) 0 表示柱面,母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.

xzl3

方程 H ( z, x) 0 表示柱面,母线 平行于 y 轴;

准线 xoz 面上的曲线 l3.

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y

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四、二次曲面三元二次方程

Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyx Fzx Gx Hy Iz J 0(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 椭球面

x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c(1)范围：

2

2

2

x a,

y b,

z c y2 z2 1 , b2 c2 x 0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y 0

(2)与坐标面的交线：椭圆

x2 y2 1, 2 2 a b z 0

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x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c(3) 截痕 …… 此处隐藏：745字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……